Плотность распределения случайной величины

[webmos]

Привет всем,

прошу помощи специалистов в сфере математической статистики. Вопрос такой: дана функция, показывающая зависимость между измеренными значениями случайной величины Х и количеством раз, когда Х эти значения принимает. Визуально это выглядит гистограммой.
Можно ли назвать этот график плотностью распределения случайной величины, или это понятие можно применять только в случае бесконечного количества измерений и оперирования, соответственно, вероятностями, а не количеством измеренных значений?

[Александрович]

Это и есть экспериментальная функция распределения. А количество раз нужно разделить на общее количество испытаний.

[statistonline]

webmos в сообщении #636305 писал(а):

Можно ли назвать этот график плотностью распределения случайной величины, или это понятие можно применять только в случае бесконечного количества измерений и оперирования, соответственно, вероятностями, а не количеством измеренных значений?

Вообще гистограмма - это и есть оценка функции плотности, а не функции распределения. Но у Вас не гистограмма, так как Александрович верно указал, что надо будет еще разделить все значения функции на общее число опытов. Так что можете пользоваться после такой операции, хотя есть методы и надежнее, например, с использованием ядерных оценок. Бесконечность у Вас в опытах никогда не возникнет. Все реальные распределения по-сути - дискретные. Непрерывными мы пользуемся, потому что это удобнее. Суммы иногда, например, считать сложнее, нежели интегралы.

[android2012]

Удобнее в работе определение "временнАя изотропность".

[webmos]

Спасибо за ответы, господа.
Наверное, все-таки это не экспериментальная функция распределения, а экспериментальная функция плотности, как написал statistonline. Дело в том, что по оси абсцисс отложены интервалы, равные принятой единице ширины (если так можно сказать). Например интервалы по 10 мс. Получается число измерений/10 мс. Можно же принять за единицу ширины интервала 10 мс? Если да, то это плотность. (если я не правильно понимаю, то прошу пояснить)


Но вопрос следующий. Если каждое значение (число измерений для интервала) отнесем к общему числу измерений, то получится частота (или частость) появления измерения в заданном интервале. Это будет не вероятность, правильно? Складывая несколько интервалов, получим частоту (частость) за эти несколько интервалов?

Другой вопрос, связанный с первым. Можно ли, увеличивая количество измерений, получить аналитическую функцию (аппроксимирующую)? Имеется ввиду в принципе. Но что будет тогда показывать эта функция, то есть будет отложено по оси ординат, - абсолютные значения количества раз, когда Х принимает то или иное значение или, при аппроксимации необходимо перейти к вероятности ?? Это важный для меня вопрос - известно, что бесконечного числа измерений провести невозможно, их можно только представить. Значит ли, это, что каждый раз при аппроксимации каких-либо экспериментальных данных и получении аналитической функции, необходимо переходить к вероятностям?
P.S.: Связанный вопрос: так ли, что у непрерывной функции, количество значений на конечном интервале, бесконечно?

[Henrylee]

webmos в сообщении #636516 писал(а):

Спасибо за ответы, господа.
Наверное, все-таки это не экспериментальная функция распределения, а экспериментальная функция плотности, как написал statistonline. Дело в том, что по оси абсцисс отложены интервалы, равные принятой единице ширины (если так можно сказать). Например интервалы по 10 мс. Получается число измерений/10 мс. Можно же принять за единицу ширины интервала 10 мс? Если да, то это плотность. (если я не правильно понимаю, то прошу пояснить)

Ну если теоретическое распределение вообще имеет плотность, то Ваша гистограмма (с частотами в смысле) будет ее напоминать, но даже оценкой плотности назвать ее можно с натяжкой, если Вы фиксируете ширину интервала.

webmos в сообщении #636516 писал(а):

Но вопрос следующий. Если каждое значение (число измерений для интервала) отнесем к общему числу измерений, то получится частота (или частость) появления измерения в заданном интервале. Это будет не вероятность, правильно? Складывая несколько интервалов, получим частоту (частость) за эти несколько интервалов?

Да, частота не вероятность (теоретическая). Частота - вероятность в смысле эмпирического распределения, т.е. вероятностная мера, порожденная выборкой.
Да, частота, аддитивна, как любая вероятностная мера.

webmos в сообщении #636516 писал(а):

Другой вопрос, связанный с первым. Можно ли, увеличивая количество измерений, получить аналитическую функцию (аппроксимирующую)? Имеется ввиду в принципе. Но что будет тогда показывать эта функция, то есть будет отложено по оси ординат, - абсолютные значения количества раз, когда Х принимает то или иное значение или, при аппроксимации необходимо перейти к вероятности ??

Если у Вас отложены количества, то при увеличении числа измерений, все уйдет в бесконечность. Если частоты, то в силу теоремы Гливенко-Кантелли
должны равномерно приближаться к функции, показывающей теоретическую вероятность попадания в каждый из интервалов.

webmos в сообщении #636516 писал(а):

Это важный для меня вопрос - известно, что бесконечного числа измерений провести невозможно, их можно только представить. Значит ли, это, что каждый раз при аппроксимации каких-либо экспериментальных данных и получении аналитической функции, необходимо переходить к вероятностям?

Мне кажется, это слишком абстрактный вопрос.

webmos в сообщении #636516 писал(а):

P.S.: Связанный вопрос: так ли, что у непрерывной функции, количество значений на конечном интервале, бесконечно?

если она не константа.

[webmos]

Благодарю вас, Henrylee, за подробный ответ. Кое-что я подозревал, например, про то, что график "количеств" уйдет в бесконечность при бесконечном числе измерений, но не был уверен. Надо подумать надо всем этим несколько дней.

[webmos]

Цитата:

Если у Вас отложены количества, то при увеличении числа измерений, все уйдет в бесконечность. Если частоты, то в силу теоремы Гливенко-Кантелли
должны равномерно приближаться к функции, показывающей теоретическую вероятность попадания в каждый из интервалов.

Правильно ли я понял, что под словами "... приближаться к функции, показывающей теоретическую вероятность попадания в каждый интервал..." следует понимать, что речь идет функции плотности вероятности? Ведь при переходе к пределу, количество интервалов станет бесконечным и их ширина станет равной нулю, они превратятся в значения (точки на оси абсцисс). А вероятность того, что непрерывная случайная величина примет определенное значение равна нулю. Значит речь может идти только плотности вероятности по оси ординат и самих значениях по оси абсцисс?

[webmos]

Дополню предыдущий пост. Если при увеличении числа измерений получится функция не плотности вероятности, а вероятность попадания в интервал (как вы написали), то что будет с этой вероятностью в пределе, при бесконечном уменьшении интервалов?

[Henrylee]

webmos в сообщении #639760 писал(а):

Правильно ли я понял, что под словами "... приближаться к функции, показывающей теоретическую вероятность попадания в каждый интервал..." следует понимать, что речь идет функции плотности вероятности? Ведь при переходе к пределу, количество интервалов станет бесконечным и их ширина станет равной нулю, они превратятся в значения (точки на оси абсцисс).

Нет, у Вас же при этом ширина интервала фиксированная. Функция останется ступенчатой.

-- Вс ноя 04, 2012 14:31:26 --

webmos в сообщении #639775 писал(а):

Дополню предыдущий пост. Если при увеличении числа измерений получится функция не плотности вероятности, а вероятность попадания в интервал (как вы написали), то что будет с этой вероятностью в пределе, при бесконечном уменьшении интервалов?

Устремиться к вероятности попадания в точку. Например, в случае абс.непрерывного распределения все уйдет в ноль. А вот если будем делить значение таких функций еще на длину интервала, то в пределе должны получить плотность.

[webmos]

К п.1. Если фиксированная, то да, будут ступеньки. Я имел ввиду, что мы расфиксировали ширину и поехали к пределу (если так можно сказать):)

К п. 2. Понял, спасибо. Вероятность попадания в точку для случайной и непрерывной величины равна нулю. А вот если отнести к ширине интервала, то предел этого отношения нулю равен не будет.

А можно ли к длине интервала отнести не относительную частоту попадания значений в интервал, а количество самих значений и устремиться к бесконечному
числу измерений?
Если мы отнесем относительную частоту и перейдем к бесконечности, то понятно, что получим функцию плотности вероятности.
А если сделать так, как я написал, то будет ли предел у этого отношения и если да, то что за функцию мы получим? что она будет показывать?

Кстати, посмотрел формулировку теоремы Гливенко-Кантелли. Там, если я правильно понял, речь идет о том, что выборочная функция сходится к ее теоретическому аналогу.
Не очень понял насчет выборочной функции. Это уже аналитическое выражение или таблица с результатами измерения? А как определить теоретический аналог для этой таблицы, по внешнему виду?
Ну есть таблица с цифрами, можно построить гистограмму. Да, на вид похоже, что нормальное распределение, но их надо как-то связать. То есть надо получить аналитическую функцию из таблички с результатами. Наверное есть какой-то конструктор функций.

[webmos]

Добавка к вопросу. Предположу, что если относительную частоту (частость) заменить на количество измерений, предел будет равен бесконечности. В числителе число измерений, стремящееся к бесконечности, в знаменателе - величина интервала, стремящаяся к нулю.

[Henrylee]

webmos в сообщении #640469 писал(а):

К п.1.

А можно ли к длине интервала отнести не относительную частоту попадания значений в интервал, а количество самих значений и устремиться к бесконечному
числу измерений?
Если мы отнесем относительную частоту и перейдем к бесконечности, то понятно, что получим функцию плотности вероятности.
А если сделать так, как я написал, то будет ли предел у этого отношения и если да, то что за функцию мы получим? что она будет показывать?

Снова в бесконечность уедем. Если асболютно-непрерывное распределение. В дискретном случае будет где ноль, а где бесконечность.

webmos в сообщении #640469 писал(а):

Кстати, посмотрел формулировку теоремы Гливенко-Кантелли. Там, если я правильно понял, речь идет о том, что выборочная функция сходится к ее теоретическому аналогу.
Не очень понял насчет выборочной функции. Это уже аналитическое выражение или таблица с результатами измерения?

Аналитическое. Выборочная функция это дискретная функция распределения (случайная, вообще говоря). Можно построить по таблице данных, собственно (ее конкретную реализацию, соответствующую Вашим полученным данным)

webmos в сообщении #640469 писал(а):

А как определить теоретический аналог для этой таблицы, по внешнему виду?
Ну есть таблица с цифрами, можно построить гистограмму. Да, на вид похоже, что нормальное распределение, но их надо как-то связать. То есть надо получить аналитическую функцию из таблички с результатами. Наверное есть какой-то конструктор функций.

В точности никак. В приближении - выдвигаете статистическую гипотезу, проверяете с помощью критериев в согласии и т.п.

-- Вт ноя 06, 2012 23:48:48 --

webmos в сообщении #640546 писал(а):

Добавка к вопросу. Предположу, что если относительную частоту (частость) заменить на количество измерений, предел будет равен бесконечности. В числителе число измерений, стремящееся к бесконечности, в знаменателе - величина интервала, стремящаяся к нулю.

Ну да, собственно. В случае абс. непр. (см. выше)