Диффур

[integral2009]

Какие методы можно использовать для решения такого диффура? В каком направ

$y^{(4)}=y^{-7/3}$

Нужно найти первые $3$ интеграла.

[cool.phenon]

Замена $y'=p\left(y\right)$

[integral2009]

Спасибо

$y'=p$

$y''=p'p$

$y'''=p''p+(p')^2$

$y^{(4)}=p'''p+p''p'+2p'p''=p'''p+3p''p'$

Тогда уравнение переписывается в виде:

$p'''p+3p''p'=y^{-7/3}$

А как дальше?

Правда не думаю, что тут все настолько просто, здесь скорее всего какие-то хитрые группы преобразований применяются.

[cool.phenon]

Может, я ,конечно, ошибаюсь, но левая часть отлично решается как уравнение ( если правую приравнять к нулю) - нужно выделить дифференциалы логарифмов, а затем воспользоваться вариацией.

[ИСН]

Так-то оно так (может быть), а толку? Левая часть, увы, равна не нулю, а правой части.

[cool.phenon]

Просто у меня сомнения, можно ли пользоваться методом вариации где-то помимо ЛДУ? Если это так, то здесь должно прокатить.

[Someone]

integral2009 в сообщении #639463 писал(а):

$y'=p$

$y''=p'p$

$y'''=p''p+(p')^2$

$y^{(4)}=p'''p+p''p'+2p'p''=p'''p+3p''p'$

Неправильно. Штрихи у Вас обозначают производные по $x$, а не по $y$. Нужно использовать формулу производной сложной функции.

$y'=\frac{dy}{dx}=p(y)$
$y''=\frac{dy'}{dx}=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=\frac{dp}{dy}p$
$y'''=\frac{dy''}{dx}=\frac d{dx}\left(\frac{dp}{dy}p\right)=\frac d{dy}\left(\frac{dp}{dy}p\right)\cdot\frac{dy}{dx}=\left(\frac{d^2p}{dy^2}p+\left(\frac{dp}{dy}\right)^2\right)p$
$y''''=\ldots$

[integral2009]

Someone в сообщении #639482 писал(а):

Неправильно. Штрихи у Вас обозначают производные по $x$, а не по $y$. Нужно использовать формулу производной сложной функции.

$y'=\frac{dy}{dx}=p(y)$
$y''=\frac{dy'}{dx}=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=\frac{dp}{dy}p$
$y'''=\frac{dy''}{dx}=\frac d{dx}\left(\frac{dp}{dy}p\right)=\frac d{dy}\left(\frac{dp}{dy}p\right)\cdot\frac{dy}{dx}=\left(\frac{d^2p}{dy^2}p+\left(\frac{dp}{dy}\right)^2\right)p$
$y''''=\ldots$

Спасибо. Да, действительно, увидев то, что дальнейшее взятие производных бессмысленно, я уже забыл по $y$ берем производные.

$y''''=\frac{d}{dy}\Bigg(\left(\frac{d^2p}{dy^2}p+\left(\frac{dp}{dy}\right)^2\right)p\Bigg)p=\left(\frac{d^2p}{dy^2}p+\left(\frac{dp}{dy}\right)^2\right) p\frac{dp}{dy}+p^2\cdot \left(\frac{d^2p}{dy^2}\cdot \frac{dp}{dy}+p\cdot \frac{d^3p}{dy^3}+2\left(\frac{d^2p}{dy^2}\cdot \frac{dp}{dy}\right)\right)=$

раскрывая скобки

$$=p^2\frac{dp}{dy}\cdot\frac{d^2p}{dy^2}+p\cdot \left(\frac{dp}{dy}\right)^3+p^2\frac{dp}{dy}\cdot\frac{d^2p}{dy^2}+p^3 \cdot \frac{d^3p}{dy^3}+2p^2\cdot \frac{dp}{dy}\cdot\frac{d^2p}{dy^2}=4p^2\frac{dp}{dy}\cdot\frac{d^2p}{dy^2} +p^3 \cdot \frac{d^3p}{dy^3}+p\cdot \left(\frac{dp}{dy}\right)^3$$

Приходим к уравнению

$4p^2\frac{dp}{dy}\cdot\frac{d^2p}{dy^2} +p^3 \cdot \frac{d^3p}{dy^3}+p\cdot \left(\frac{dp}{dy}\right)^3=y^{-5/3}$

$p^3p'''+4p^2p'p''+p(p')^3=y^{-5/3}$

Да, удалось понизить порядок. Но есть ли в этом смысл в данном случае?

-- Сб ноя 03, 2012 02:25:59 --

cool.phenon в сообщении #639472 писал(а):

Может, я ,конечно, ошибаюсь, но левая часть отлично решается как уравнение ( если правую приравнять к нулю) - нужно выделить дифференциалы логарифмов, а затем воспользоваться вариацией.

А что вы там имели ввиду под дифференциалами логарифмов - я не догнал. Ну ясно, что $d\Big(\ln y\Big)=\dfrac{dy}{y}$, но как это может помочь?

[cool.phenon]

$d\left(\ln y''\right)=\frac{y'''}{y''}...$

[integral2009]

cool.phenon в сообщении #639553 писал(а):

$d\left(\ln y''\right)=\frac{y'''}{y''}...$

$d\left(\ln y'''\right)=\frac{y''''}{y'''}$

Но это ведь не спасет...

[cool.phenon]

Если вы следили за разговором, то должны были понять, что всё решение сводится к тому,чтобы проверить, можно ли работать с методом вариации в ДУ помимо ЛДУ.

[cool.phenon]

Хотя нет, приношу свои извинения. Здесь дифференциалы ни при чём. Вариация тем более. Я такой метод посоветовал, поскольку при таком виде он является стандартным.

[integral2009]

cool.phenon в сообщении #639632 писал(а):

Хотя нет, приношу свои извинения. Здесь дифференциалы ни при чём. Вариация тем более. Я такой метод посоветовал, поскольку при таком виде он является стандартным.

[integral2009]

Здесь вот может пригодится групповой анализ....Но как?