регулярность отображения в точке

[RandomWalker]

Дано:
L, M, N - абстрактные многообразия.
Гладкие отображения:

$F: L \rightarrow M \times N$
$f: L \rightarrow M$
$g: L \rightarrow N$

$F=(f,g)$

$a \in f(L) \subset M$ регулярное значение для f.
Обозначим подмногообразие $K \subset L$ как $f^{-1}(a)$.
$b \in N$
$c=(a,b)$ регулярное значение для $F$.

Показать, что значение $b$ регулярное для ограничения $g$ в $K$.

Мне кажется, что условие [ $a \in f(L) \subset M$ регулярное значение для f. ]
является лишним, т.к. если $c=(a,b)$ регулярное значение для F, то
$f(F^{-1}(a,b))=a$ и $g(F^{-1}(a,b))=b$ должны быть регулярными, и
$g(F^{-1}(a,b))=b$ как раз и есть определение отображения $g$ на ограничении $K$.

Или я ошибаюсь?

[Brukvalub]

RandomWalker писал(а):

Мне кажется...

Это не слишком сильный аргумент. Лучше попробуйте обосновать (или опровергнуть) Ваше предположение, основываясь на определении регулярности.

[RandomWalker]

Определение:

y \in N является регулярным значением, если для каждого $x \in f^{-1}(y)$ дифференциал $d f_x: T_xM \rightarrow T_yN$ сюръективен

Это означает, что отображение
$dF_c=(df_a, dg_b): T_cL \rightarrow T_aM \times T_bN$ сюръективно
это в свою очередь означает, что по отдельности отображения
$df_{F^{-1}(a,b)}: T_{F^{-1}(a,b)}L \rightarrow T_{f(F^{-1}(a,b))}M$
и
$dg_{F^{-1}(a,b)}: T_{F^{-1}(a,b)}L \rightarrow T_{g(F^{-1}(a,b))}N$
сюръективны, откуда следует, что
b регулярное значение для $g_{F^{-1}(a,b)}=b$

[Brukvalub]

RandomWalker писал(а):

это в свою очередь означает, что по отдельности отображения
$df_{F^{-1}(a,b)}: T_{F^{-1}(a,b)}L \rightarrow T_{f(F^{-1}(a,b))}M$
и
$dg_{F^{-1}(a,b)}: T_{F^{-1}(a,b)}L \rightarrow T_{g(F^{-1}(a,b))}N$
сюръективны

А почему это верно?

[RandomWalker]

Brukvalub писал(а):

А почему это верно?

а что? разве неправильно?


у меня появилась версия по поводу условия: [ $a \in f(L) \subset M$ регулярное значение для f. ]
оно нужно для того, чтобы можно было задать подмногообразие К, и дальше сформулировать вопрос про регулярность b для отображения g,

[Brukvalub]

RandomWalker писал(а):

у меня появилась версия по поводу условия: [ $a \in f(L) \subset M$ регулярное значение для f. ]
оно нужно для того, чтобы можно было задать подмногообразие К, и дальше сформулировать вопрос про регулярность b для отображения g

У меня тоже возникала такая мысль, но одного этого факта явно недостаточно для доказательства. Необходима еще аккуратная работа с определениями понятий, Вы же пытаетесь аппелировать просто к здравому смыслу, что опасно.

[RandomWalker]

Исправленное решение:

Чтобы значение $b$ было регулярно для $g$ на ограничении $K$, нужно, чтобы для каждой точки $x\in \{x \in K=f^{-1}(a) \ | \ g(x)=b\}$ дифференциал $d g_x: T_x K \rightarrow T_b N$ был сюръективным отображением.

Запишем отображение $g$ следующим образом:
$g=\pi_2 \circ F = \pi_2 \circ (f, g)$,

тогда дифференциал $dg_x=d\pi_2 \circ F(x) = d\pi_2(F(x)) dF(x)$

ясно, что множество $\{x \in K=f^{-1}(a) \ | \ g(x)=b\}$ можно записать как $\{x \in K \bigcap g^{-1}(b)=f^{-1}(a) \bigcap g^{-1}(b)=F^{-1}(a,b)\}$

Т.е. задача сводится к доказательству сюръективности дифференциала $dg_x=d\pi_2 \circ F(x) = d\pi_2(F(x)) dF(x): T_x K \rightarrow T_b N$ для $x \in F^{-1}(a,b)$

Сюръективность дифференциала следует из того, что он выражается через комбинацию сюръективных отображений:
1) $d\pi_2$ отображение (проекция) всегда сюръективно;
2) отображение $dF(x)$ для $x \in F^{-1}(a,b)$ сюръективно по условию.

[RandomWalker]

Проверьте пожалуйста решение в предыдущем посте (условие задачи в первом сообщении)

[Brukvalub]

Мне Ваше последнее решение видится верным.

[RandomWalker]

Спасибо!