Фактор-группа

[Andrei94]

Здравствуйте, не очень представляю -- что такое фактор группа (определение знаю). Можете, пожалуйста, привести пример какой-нибудь простой, чтобы на нем понять смысл определения?

[Mitrius_Math]

Алгебра и теория чисел, Куликов, с. 360-361.

[lek]

Постройте изоморфизм $S_3/A_3\simeq S_2$. Проще трудно что-либо придумать...

[Andrei94]

Mitrius_Math в сообщении #638041 писал(а):

Алгебра и теория чисел, Куликов, с. 360-361.

Спасибо.



Тут не очень подробно для меня...
Ну хорошо, вот выписали мы остатки от деления на $m$ А откуда вывод, что сразу вот такой зверь является фактор-группой?

lek в сообщении #638048 писал(а):

Постройте изоморфизм $S_3/A_3\simeq S_2$. Проще трудно что-либо придумать...

А что вы обозначается $S_3$ и $A_3$ и $S_2$?

[ИСН]

Определение фактор-группы (которое Вы, по идее, знаете) не начинается с неё самой. Оно начинается с какой-то другой (большой) группы, и...

[Andrei94]

ИСН в сообщении #638054 писал(а):

Определение фактор-группы (которое Вы, по идее, знаете) не начинается с неё самой. Оно начинается с какой-то другой (большой) группы, и...

Факторгруппа — конструкция дающая новую группу по и её нормальной подгруппе.

Что такое нормальная подгруппа -- понимаю. А что вы написали -- не очень понял(

[ИСН]

Я имею в виду, что построение группы, обозначенной здесь как $Z/mZ$, не начинается со слов "вот выписали мы остатки от деления на $m$".

-- Ср, 2012-10-31, 00:55 --

(в смысле - построение её именно как фактор-группы.)

[lek]

Andrei94 в сообщении #638051 писал(а):

А что вы обозначается $S_3$ и $A_3$ и $S_2$

$S_3$ и $S_2$ - симметрические группы порядков 6 и 2 соответственно, $A_3$ - нормальная подгруппа в $S_3$ порядка 3.

[Andrei94]

Ок. Вот у нас есть аддитивная группа $(G,+)$ целых чисел. Это подгруппа коммутативна, потому любая подгруппа будет нормальна.

Давайте посмотрим остатки от деления на $m=5$.

$\overline{k}=k+5Z$

$Z/mZ=\{0,1,2,3,4\}$

А потом проверяется замкнутость относительно сложения?

[bot]

Не всем можно обозначать элементы фактор-группы таким образом. Начинающему нельзя.

[Andrei94]

bot в сообщении #638191 писал(а):

Не всем можно обозначать элементы фактор-группы таким образом. Начинающему нельзя.

А как можно?

[bot]

Почитать, что в книжках пишут. Что является элементом факторгруппы? Вот Вы какую-то чёрточку над буковкой $k$ рисовали, $\mathbb Z$ писали, а потом вдруг раз и элементами факторгруппы у Вас стали циферки. Как это так?

[Andrei94]

Я сильно торможу, но очень хочу понять=) В книжке не нашел - что является элементом факторгруппы..

Факторгруппа — конструкция дающая новую группу (факторгруппу) по группе и её нормальной подгруппе.

$(aH)(bH)=abH$

Ведь эта штука образует смежный класс, а уже по определению смежного класса:

$g_1g_2H=\{g_1g_2h|h\in H\}$

Или это бред?

[ИСН]

Каков смысл вот этого выражения

Andrei94 в сообщении #638422 писал(а):

$(aH)(bH)=abH$

а также его связь с предыдущим и последующим текстом?
И - кто, какая такая "эта штука" образует смежный класс?

[Andrei94]

ИСН в сообщении #638444 писал(а):

Каков смысл вот этого выражения

Andrei94 в сообщении #638422 писал(а):

$(aH)(bH)=abH$

а также его связь с предыдущим и последующим текстом?
И - кто, какая такая "эта штука" образует смежный класс?

Это умножение смежных классов. С последующим связь -- это я уже сам додумал, что в результате него мы вновь получаем смежный класс. А с предыдущим пока что не знаю какая связь, пытаюсь установить ее.

Просто видел вот такое определение факторгруппы. Множество всех смежных классов группы $G$ по нормальной подгруппе $H$ является группой относительно введенной выше операции умножения смежных классов. Эта группа называется факторгруппой группы по нормальной подгруппе и обозначается $G/H$