В
определении достижимого атома (стр. 104) есть условие "... и если

..." (а не про

).
Нет, не так. "Если цепь

-неприводима и

, то атом называется достижимым". По определению

-неприводимости (см. раздел 4.2 - пси тут не просто буква, это максимальная мера, о которой шла речь выше), из

вытекает, что

. Это и есть достижимость из любого состояния.
А дальше вообще не поняла, что именно не так. Никакой "достижимости атома относительно

" быть не может, пока

не является максимальной мерой неприводимости. В теореме утверждается две вещи:
1) атом

достижим,
2) цепь

-неприводима.
Пункт (2) доказан. Пункт (1) означает, что существует максимальная мера

, относительно которой цепь неприводима, и

. Это сразу следует из п. (2) и теоремы, которую мы обсуждали выше. Мера

уже обеспечивает неприводимость, значит максимальная мера существует, строится как выше, и сразу же из

следует

.
Ещё раз (думаю, не раз понадобится). Когда авторы пишут "

-неприводимость", это означает то, что написано. Когда авторы пишут

-неприводимость, это неприводимость с максимальной мерой, как описано в рамочке в п.4.2.