Метод сжимающих отображений | вопрос по доказательству

[ARD_ElEcTrO]

Всем привет. Ребят, у меня есть одно недопонимание в доказательстве о том, что всякое сжимающее отображение, определенное в полном метрическом пространстве $R$, имеет одну и только одну неподвижную точку. Помогите, пожалуйста, разобраться.

Начнём по порядку. Сделаю также ссылку на то, что доказательство я беру из книги Колмогорова, Фомина "Элементы теории функций и функционального анализа".


Доказательство:

Пусть $x_0$ - произвольная точка в $R$. Положим, что $x_1=Ax_0$, $x_2=Ax_1=A^2x_0$ и т.д. Тогда $x_n=A^nx_0$

Покажем, что полученная последовательность ${x_n}$ - фундаментальная. Действительно, считая для определенности $m\geq n$, имеем:

$p(x_n, x_m)=p(A^nx_0,A^mx_0)\leq a^np(x_0,x_{m-n})\leq a^n(p(x_0,x_1)+p(x_1,x_2)+...+p(x_{m-n-1},x_{m-n}))\leq a^np(x_0,x_1)(1+a^2+a^3+.....+a^{m-n-1})\leq a^np(x_0,x_1)\frac{1}{(1-a)}$ <- Обозначим эту выкладку через $(*)$

Дальше, на основе того, что $a<1$, при достаточно большом $n$, эта величина сколь угодно мала. Поэтому, ${x_n}$, будучи фундаментальной, имеет предел.

Тогда $x=\lim x_n$ при $n \rightarrow \infty$
Тогда в силу непрерывности отображения $A$:

$Ax=A\lim x_n = \lim Ax_n=\lim x_{n+1}=x $ при $n \rightarrow \infty$
Значит, существование неподвижной точки доказано. Докажем ее единственность:

Если $Ax=x$, $Ay=y$, то неравенство из определения сжимающего отображения принимает вид:
$p(x,y)\leq ap(x,y)$
Так как $a<1$, то:
$p(x,y)=0$, то есть $x=y$.


Я привёл всё доказательство, но вопрос у меня возник лишь в выкладке $(*)$. А конкретнее, мне непонятно, как мы осуществили следующий переход:
$p(A^nx_0,A^mx_0)\leq a^np(x_0,x_{m-n})$.

Знающие ребята, очень прошу помощи. Заранее спасибо.

[TOTAL]

ARD_ElEcTrO в сообщении #637681 писал(а):

А конкретнее, мне непонятно, как мы осуществили следующий переход:
$p(A^nx_0,A^mx_0)\leq a^np(x_0,x_{m-n})$.

Знающие ребята, очень прошу помощи. Заранее спасибо.

$p(A^nx_0,A^mx_0)\leq ap(A^{n-1}x_0,A^{m-1}x_0)$
Вот такую запишите несколько раз.

[ARD_ElEcTrO]

TOTAL

Агаааа, очень просто оказалось. Спасибо большое! :)

[ewert]

Вообще-то это обоснование обычно принято записывать примитивнее, безо всяких изобретательств:

$$\rho(x_{k},x_{k+1})\leqslant a\rho(x_{k-1},x_{k})\leqslant a^2\rho(x_{k-2},x_{k-1})\leqslant\ldots\leqslant a^k\rho(x_{0},x_{1})\ \ \Rightarrow$$

$$\Rightarrow\ \ \rho(x_{n},x_{m})\leqslant \rho(x_{n},x_{n+1})+\rho(x_{n+1},x_{n+2})+\ldots+\rho(x_{m-1},x_{m})\leqslant \rho(x_0,x_1)(a^n+a^{n+1}+\ldots+a^{m-1})\leqslant\frac{a^n}{1-a}\,\rho(x_0,x_1).$$