ПРВ суммы двух случайных процессов

[dobryaaasha]

profrotter, вот сегодня и постараюсь выяснить. В обеих книгах, которые Вы посоветовали, нашла такую же схему с комментариями. Спасибо.

[dobryaaasha]

Результат моего вчерашнего диалога с преподавателем:

В данный момент мы рассматриваем такой случай входного процесса, при котором ФНЧ пропускает именно огибающую, поэтому в точках 3 и 4 ПРВ Райса и Релея получаются. В дальнейшем будем рассматривать другие случаи входного процесса, например, гауссовский. Сейчас главное вывести алгоритм нахождения ПРВ, а потом в него можно будет любой входной процесс вставить.

По поводу независимости процессов в двух ветках цепи: в один и тот же момент времени они независимы. Это он сказал 100%. Еще сказал, что т.к. входной сигнал домножается на синус и на косинус (опорные колебания), то выходит, что полученные в результате перемножения сигналы ортогональны.

[profrotter]

Ну, если независимость имеет место со 100%-ой гарантией, то всё нормально. Собственно вам уже помог AlexValk.

Вы спрашивали о другом способе анализа схемы. Переход из точек 4 и 5 в точку 8 может быть основан на рассмотрении нелинейного преобразвания независимых процессов вида:

$$\rho(t)=\sqrt{X^2(t)+Y^2(t)}$$

$$\Theta(t)=\arctg(\frac {Y(t)}{X(t)})$$

$\rho(t)\geq 0,-\pi\geq\Theta\geq\pi$
Это преобразование разобрано, например, тут: http://strts-online.narod.ru/files/lec3.pdf в п.3.3 на стр.9. По результатам можно, зная совместную ПРВ $w_{XY}(x,y)=w_{X}(x)w_{Y}(y)$ процессов $X(t)$ и $Y(t)$, найти совместную ПРВ $w_{\rho\Theta}(r,\theta)$ процессов $\rho(t)$ и $\Theta(t)$. Затем, используя свойство согласованности найти и ПРВ $w_{\rho}(r)$ процесса $\rho(t)$.

Не думаю, что этот способ даст выкладки по сложности сколь-нибудь отличные от тех, что Вы уже проделали. Но вдруг...

Интересно, а какой вид шума действует на входе?

[dobryaaasha]

profrotter, на входе действует узкополосный гауссовский шум.

-- 30.10.2012, 10:38 --

AlexValk,
в Вашей записи мне кажется есть опечатка или я недопонимаю:
После фразы "Окончательный результат для ПРВ величины $w$ имеет вид идет формула для $P(w)$, там множитель перед экспонентой должен быть $\frac{{\sqrt w}}{{4\sqrt 2 U \sigma^2}}$. Или нет?

[profrotter]

Узкополосный гауссов шум описывается выражением

$$n(t)=\rho(t)\cos(\omega_0 t+\Theta(t))=X(t)\cos(\omega_0 t)-Y(t)\sin(\omega_0 t),$$

где $\rho(t)$ -релеевский (огибающая), $\Theta(t)$ - имеет равномерное распределение (мгновенная фаза), $X(t),Y(t)$ - независимые гауссовы процессы (квадратуры гауссова процесса).
На выходе перемножителя с опорным колебанием $u_0(t)=\cos(\omega_0 t)$:

$$u_{\text{умножитель}}(t)=n(t)u_0(t)=X(t)\cos(\omega_0 t)\cos(\omega_0 t)-Y(t)\sin(\omega_0 t)\cos(\omega_0 t)=$$

$$=\frac 1 2 X(t)+\frac 1 2 X(t)\cos(2\omega_0 t)-Y(t)\sin(2\omega_0 t)$$

На выходе ФНЧ $u_{\text{ФНЧ}}(t)=\frac 1 2 X(t)$
Аналогично в другом канале $u_{\text{ФНЧ}}(t)=\frac 1 2 Y(t)$ (Возможно с другим знаком)

На скорую руку может я где и ошибся, но у меня такое ощущение, что в каждом из каналов получаются гауссовы 100%-независимые процессы.

[dobryaaasha]

и еще у экспоненты в знаменателе степени не $\sigma^2$, а $2\sigma^2$, да?

-- 30.10.2012, 11:04 --

profrotter, вот мои преобразования (обозначения в соответствии со схемой):
В точке 1 на выходе перемножителя при входном процессе гауссовский шум:

$U_1(t)=Z_i(t)U_{on} (t)_1=n(t)U_{on} (t)_1=U_n(t)\cos[\omega_0(t)+\varphi_n(t)]U_{on}\cos[\omega_0(t)+\varphi_0]=\frac{U_n(t) U_{on}}{2}(\cos[2\omega_0(t)+\varphi_n(t)+\varphi_0]+\cos[\varphi_n(t)-\varphi_0])$

В точке 3 после ФНЧ получаем:

$y(t)=\frac{U_n(t) U_{on}}{2}\cos[\varphi_n(t)-\varphi_0]$

-- 30.10.2012, 11:06 --

Я думаю, у меня есть в этих преобразованиях ошибка, т.к. у шума $U_n$ я восприняла как константу, но ведь она зависит от времени и раскладывается..

[AlexValk]

dobryaaasha в сообщении #637624 писал(а):

и еще у экспоненты в знаменателе степени не $\sigma^2$, а $2\sigma^2$, да?

- Да, конечно.

dobryaaasha в сообщении #637616 писал(а):

в Вашей записи мне кажется есть опечатка или я недопонимаю:
После фразы "Окончательный результат для ПРВ величины имеет вид идет формула для , там множитель перед экспонентой должен быть ...... Или нет?

- Нет, с внешним множителем все нормально. Внешний множитель однозначно определяется условием нормировки $\int_0^\infty P(\omega) d\omega=1$. Возьмите любые (можно и некрасивые) числовые значения $U$ и $\sigma$, и вычислите этот интеграл численно в какой-нибудь программе - должно получиться число, очень близкое к 1. А Maple и Mathematica могут выполнить эту проверку и аналитически.

[dobryaaasha]

AlexValk, прошу прощения, но я поподробней опишу ход моих мыслей, а Вы меня исправьте пожалуйста, если что не так
$a=\frac{\sqrt w U}{\sigma^2}$
В соответствии с представленной Вами формулой перехода от Бесселевой функции нулевого порядка к Бесселевой функции первого порядка получается:
$\frac{a}{\sqrt 2}I_1(\sqrt 2 a)=\sqrt {\frac{w}{2}}\frac{U}{\sigma^2}I_1(\frac{\sqrt {2w}U}{\sigma^2})$
При записи окончательного варианта Вы почему-то переворачиваете множитель $\frac{\sigma^2}{U}$, а вместо $\frac{a}{\sqrt 2}$ используете $\sqrt 2 a$.
В итоге по моим рассуждением получается
$P(w)=\frac{\sqrt w U}{4\sqrt 2 \sigma^6}\exp[-\frac{w+2U^2}{2\sigma^2}]I_1(\frac{\sqrt {2w}U}{\sigma^2})$
Я честно говоря не поняла, при чем тут условие нормировки
Я неправильно рассуждаю, подскажите пожалуйста?

[dobryaaasha]

Так, нашла ошибку в своих рассуждениях, будет так:
$P(w)=\frac{U\sqrt w}{4\sqrt2\sigma^6}\exp[-\frac{w+2U^2}{2\sigma^2}]I_1\sqrt{\frac{2\sqrt w U}{\sigma^2}}$

[AlexValk]

Исходная формула $P(\omega)=\frac{1}{4\sigma^4}e^{-\frac{\omega+2U^2}{2\sigma^2}}\int_0^\omega I_0\left(\frac{\sqrt{k}U}{\sigma^2}\right)I_0\left(\frac{\sqrt{\omega-k}U}{\sigma^2}\right)dk$. Далее по шагам:
1. После замены переменной $k=\frac{z^2\sigma^4}{U^2}$:
a) меняется внешний множитель - вместо $\frac{1}{4\sigma^4}$ возникает $\frac{1}{2U^2}$.
b) возникает интеграл $\int_0^a z I_0(z) I_0(\sqrt{a^2-z^2}) dz=\frac{a}{\sqrt{2}}I_1(\sqrt{2}a)$, где $a=\frac{\sqrt{\omega}U}{\sigma^2}$. (В моем первичном тексте была в этом месте опечатка - пропущен сомножитель $z$ в подынтегральном выражении - однако ответ для интеграла был правильный.)
2. Умножая внешний множитель $\frac{1}{2U^2}$ на $\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{\omega}U}{\sqrt{2}\sigma^2}$ и получаем итоговый внешний множитель $\frac{\sqrt{2\omega}}{4 U\sigma^2}$.
Итоговая формула $P(\omega)=\frac{\sqrt{2\omega}}{4U\sigma^2}\exp\left[-\frac{\omega+2U^2}{2\sigma^2}\right]I_1\left(\frac{\sqrt{2\omega}U}{\sigma^2}\right)$.

Что касается "условия нормировки", то вы напрасно не стали разбираться в этом моменте. Это условие отражает очень простой и фундаментальный факт, который на "бытовом" языке звучит так: "сумма всех вероятностей равна единице". Для вашего выражения оно не выполнено (как я говорил, проверку можно выполнить и численным интегрированием), а в моем - выполнено (это, конечно не говорит однозначно о том, что мое выражение верное, но точно говорит, что ваше - неверное). Давайте возьмем, например, $U=\sqrt{2}$, $\sigma=1$ и вычислим интеграл $\int_0^\infty P(\omega) d\omega=\int_0^\infty\frac{\sqrt{\omega}}{4}\exp\left(-\frac{\omega+4}{2}\right)I_1(2\sqrt{\omega}) d\omega$, обратившись, скажем к wolframalpha

[dobryaaasha]

AlexValk, я не то что не стала разбираться в условии нормировки, я просто Вас не допоняла. Что Вы имели в виду проверку правильности с его помощью.

В Ваших рассуждениях я не смогла уловить следующее:
у нас получился интеграл от произведения двух функций Бесселя, а по формуле подинтегральное выражение должно быть еще домножено на $z$. Как мы осуществляем этот переход? И еще как от верхнего предела $w$ переходим к $a$.

Извините за вновь возникшие вопросы, просто хочется действительно разобраться, а не тупо списать.
Спасибо.

[AlexValk]

dobryaaasha,
Возникновение множителя $z$ в подынтегральном выражении связано с "якобианом" перехода от переменной $k$ к переменной $z$: $dk=d\left(\frac{z^2\sigma^4}{U^2}\right)=\frac{\sigma^4}{U^2}d\left(z^2\right)=2z\frac{\sigma^4}{U^2}dz.$. Отсюда и лишний множитель 2.
Область интегрирования $[0;a]$ по $z$ получается так: $0\leq k \leq \omega \Rightarrow$ $0\leq \frac{z^2\sigma^4}{U^2} \leq \omega \Rightarrow$ $0\leq z^2 \leq \frac{\omega U^2}{\sigma^4} \Rightarrow$ $0\leq z \leq \frac{\sqrt{\omega} U}{\sigma^2} =a$.

[dobryaaasha]

AlexValk,огромное спасибо за терпение и помощь. Все поняла, осознала. Графики для общего вида и преобразованного выражения сошлись