Компактно ли множество?

[GreyFist]

Является ли $M=\lbrace C \in GL(\mathbb{R},n) $,такие что $ ||C||=1 \rbrace}$ компактом в $GL(\mathbb{R},n)?$
$(||C||=\sup\limits_{||x||\neq0}\frac{||Cx||}{||x||}, ||x||^2=x_{1}^2+...+x_{n}^2.)$

[мат-ламер]

Замкнутое ограниченное множество в конечномерном пространстве должно быть компактом.

[GreyFist]

Спасибо. Вопрос снят.

[g______d]

Не является. Вопрос с подвохом. Рассматриваются же только обратимые матрицы. Последовательность

$$ A_n=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1/n\end{matrix}\right) $$

ограничена, $\|A_n\|=1$, но она не имеет сходящейся подпоследовательности в $GL(n,\mathbb R)$.

[GreyFist]

И правда. Как я сам не додумался

[ewert]

Причём полезно понимать, что относительно любой нормы матрицы (а не только евклидовой и операторной, которую, откровенно говоря, хрен ещё в общем случае и сосчитаешь явно).