Геометрический фронт в задаче о мощности континуума

[Инт]

Привет форумчанам.

По первой ссылке – старая статья, где континуум-проблема решается синтетически, т.е. через применение, хотя интуитивно предельно ясных, но всё же аксиом (ещё раз даю эту статью, как полезно разъясняющую часть моментов и формулирующую сами аксиомы). Статья хорошо выверена: «Геометрические аксиомы, опровергающие континуум-гипотезу» http://vixra.org/abs/1005.0059. По второй ссылке находится конструктивное, аналитическое решение, где предъявлен конструктивный способ построения линий, постулируемых аксиомами, в аналитической трактовке канонической теории множеств: «Верификация аксиом, разрешающих континуум-проблему» http://vixra.org/abs/1210.0058.

На форум сколько-то времени назад мною предъявлялась попытка такого второго конструктивного решения, но неудачная. Ошибка состояла в отсутствии доказательства для существенного момента. Пришлось сильно думать. Предъявленное далее – ключевое и уже правильное построение, смысл его станет понятен больше, если прочесть хотя бы первый параграф этой второй работы http://vixra.org/abs/1210.0058.

Доказательство, приводимое здесь на форуме, вне отмеченных статей, принципиально направлено на его реальное понимание, поэтому принципиально не соблюдает «академическую форму». Может быть понято вдумчивым студентом. Надо лишь знать основные определения и теоремы теории множеств.

§1. Ключевой аргумент

Сектор $D$ - четверть открытого круга, центр которого в точке $O$, а радиус равен $1$ (на евклидовой плоскости). Та часть границы $D$, которая находится на границе круга, есть дуга $C$. Каждая линия множества $H$ пусть такова, что включена в $D$, начинается в точке $O$, и точки линии содержатся в любой окрестности дуги $C$. При этом, каждая линия множества $H$ делит $D$ на две открытые части, одна из частей называется «левой» по отношению к линии, а другая «правой». Каждая точка левой части находится левее линии, а в правой части – правее линии. Пусть $b \in H$, $p \in H$. И пусть точки $B$ и $P$ движутся по линиям $b$ и $p$ соответственно так, что к моменту времени $\tau$ для всех достаточно больших моментов $t < \tau$ $B$ находится левее $p$ и $P$ находится правее $b$. Тогда пишем, что $b \ll p$ или $p \gg b$, или, что «$b$ завершается левее $p$» или, что «$p$ завершается правее $b$». Если для всех достаточно больших $t < \tau$ оказывается, что $B = P$, то $b$ и $p$ называются «эквивалентными». Если, линии не эквивалентны и ни одна из них не завершается правее или левее другой, то такие линии называются «несравнимыми».

Пользуясь определением, можно построить трансфинитные последовательности, составленные из линий $b_{\nu}$ и $p_{\nu}$, нумерованных всеми не более чем счётными ординалами $\nu$ (т.е. $\nu < \omega_1$) так, что для каждых ординалов $\nu$ и $\mu$ таких, что $\nu < \mu < \omega_1$, окажется $b_{\nu} \ll b_{\mu} \ll p_{\mu} \ll p_{\nu}$. Каждая пара последовательностей отмеченного типа задаёт сечение в «гиперконтинууме» $H$. Всего таких сечений $2^{\aleph_1}$. Пусть для каждого сечения находится линия $h \in H$ такая, что для каждого ординала $\nu < \omega_1$ оказывается, что $b_{\nu} \ll h \ll p_{\nu}$ (эта формулировка и есть проверяемая аксиома, вернее, достаточная часть её). Тогда, всего линий в множестве $H$ числом $2^{\aleph_1}$. И так как известно, что мощность множества $H$ равна мощности континуума, то $2^{\aleph_1} = 2^{\aleph_0} > \aleph_1$. Т.е. континуум-гипотеза $2^{\aleph_0} = \aleph_1$ в случае нахождения таких линий неверна.

Нашей задачей будет построение линии $h$ (в чём и состоит доказательство проверяемой аксиомы, как геометрической теоремы).

$\mu$-ое состояние сектора $D$ или, что то же самое, $D$ с $\mu$-ой точки зрения, зададим так: В $\mu$-ом состоянии сектора линии $b_{\nu}$ и $p_{\nu}$ при $\nu < \mu$ заканчиваются на дуге $C$ в разных точках. Т.е. если $\nu < \nu' < \mu$, то $B_{\nu} < B_{\nu'} < P_{\nu'} < P_{\nu}$, где $b_{\nu}$ заканчивается в геометрической точке $B_{\nu}$ на $C$, $p_{\nu}$ заканчивается в точке $P_{\nu}$ на $C$ при любом $\nu$. $B < P$ означает, что точка $B$ находится на дуге $C$ «левее» точки $P$. При этом, на $C$ существует геометрическая точка $E = E_{\mu}$ такая, что для всех $\nu \geqslant \mu$ $b_{\nu}$ и $p_{\nu}$ заканчиваются в точке $E$. В итоге, если $\nu < \mu$, то $B_{\nu} < E < P_{\nu}$.

Строго говоря, «с $\mu$-ой точки зрения» вместо линий $b_{\nu}$, $b_{\nu'}$, $p_{\nu'}$ и $p_{\nu}$ надо рассматривать линии $M_{\mu}\left[b_{\nu}\right]$, $M_{\mu}\left[b_{\nu'}\right]$, $M_{\mu}\left[p_{\nu'}\right]$ и $M_{\mu}\left[p_{\nu}\right]$, имеющие разные концы на $C$, когда $\nu < \nu' < \mu$, где $M_{\mu}$ – некоторая непрерывная биекция сектора $D$ на себя (автоморфизм). Но педантичные обозначения, не слишком важные для понимания решения, отвлекающие часть внимания, использовать не будем, что даст большую простоту.

Пусть $D^{*}$ – точная копия сектора $D$. Договоримся, что копию можно по произволу перемещать в пространстве как твёрдое тело, во-первых, и во-вторых, можно непрерывно деформировать сектор $D^{*}$ как угодно. В секторе $D^{*}$ изобразим линии трансфинитных последовательностей $b^{*}_{\nu}$ и $p^{*}_{\nu}$ такие, что существует непрерывная поточечная биекция $F$ между $D^{*}$ и $D$ такая, которая каждую линию $b^{*}_{\nu}$ отображает на $b_{\nu}$ и каждую линию $p^{*}_{\nu}$ отображает на $p_{\nu}$. При этом, когда точка $Q$ стремится по $D^{*}$ к дуге $C^{*}$, как копии $C$, точка $F(Q)$ устремляется к $C$. $F$ выберем так, что левые и правые множества относительно линии $b$ переносятся в левые и правые множества относительно $F\left[b\right]$ (т.е. в линии, являющейся образом $b$ при отображении $F$), при том что каждая линия, начинающаяся в точке $O^{*}$ - в копии $O$, заканчивающаяся на $C^{*}$, пусть отображается в линию из $D$, начинающуюся в $O$ и заканчивающуюся в $C$. Соответственно, пусть биекция $F$ переносит определённый выше частичный порядок с линий сектора $D^{*}$ на линии сектора $D$ с точностью до одинаковых наименований переносимых отношений.

Теперь в $D^{*}$ выберем произвольную переменную точку $R=R(t)$, которая при $t \rightarrow 1$ устремляется к дуге $C^{*}$ (В основной статье подобная точка обозначена как $T$). И предпримем трансфинитное множество попыток приближения сектора $D^{*}$ в пространстве к сектору $D$. $\mu$-ая попытка будет состоять в следующем:

- Сектор $D^{*}$ устремляется к $D$ с течением «времени» $t$: когда $t \rightarrow 1$ «постоянная точка» $Q \in D^{*}$ устремляется к точке $F(Q)$.
- Точка $R$, находящаяся на $D^{*}$, устремляется к точке $E$, когда $t \rightarrow 1$, за счёт непрерывной деформации $D^{*}$ как непрерывной плёнки.
- Каков бы ни был ординал $\nu < \omega_1$, линии $b^{*}_{\nu}$ и $p^{*}_{\nu}$ устремляются к линиям $b_{\nu}$ и $p_{\nu}$ соответственно.

Замечание 1. Для выполнения последнего условия достаточно того, чтобы оно было выполнено для некоторого счётного и «достаточно плотного» множества линий. Такое множество линий просто подбираемо – если необходимо, то через замену линий на эквивалентные.

Замечание 2. Линия $k^{*} \subset D^{*}$ может стремиться к линии $k \subset D$ «равномерно» и «неравномерно». Равномерное стремление означает, что каково бы ни было действительное $\varepsilon > 0$ для всех достаточно больших $t \rightarrow 1$ линия $k^{*}$ находится в $\varepsilon$-окрестности $k$. Если же стремление линии неравномерное, то каждая «постоянная точка» $Q \in D^{*}$, находящаяся на $k^{*}$, хотя и устремляется к точке $F(Q)$, находящейся на $k \subset D$, но существуют такие переменная точка $P = P(t) \in k^{*}$ и последовательность моментов $t(n) \rightarrow 1$, что $P(t(n))$ находится вне некоторой фиксированной $\varepsilon$-окрестности $k$. Стремление линий $b^{*}_{\nu}$ и $p^{*}_{\nu}$ к своим пределам, вообще говоря, неравномерное с $\mu$-ой точки зрения. Это означает, к примеру, что на $b^{*}_{\nu}$ может найтись переменная геометрическая точка $P(t)$, которая устремится к точке дуги $C$, не совпадающей с точкой $B_{\nu}$.

Замечание 3. Точка $R$, отвечая требуемым условиям, выбирается достаточно свободно: $R$ может даже двигаться по одной из линий $b^{*}_{\nu}$ или левее такой линии для всех достаточно больших $t < 1$, или правее или по линии $p^{*}_{\nu}$. Могут выполняться и случаи «несравнимого движения» $R$. Это не влияет на основное построение.

Определение (фронта). Пусть $X^*$ и $Y^*$ – концы дуги $C^*$. «Фронтом» назовём произвольную переменную линию $\gamma = \gamma(t) \subset D^*$, которая имеет концы на отрезках $O^{*}X^{*}$ и $O^{*}Y^{*}$ и равномерно устремлена к дуге $C^*$ «в первичной метрике сектора $D^*$». Открытая область, граница которой состоит из фронта и прямых отрезков, исходящих из точки $O^*$ в концы фронта, называется «дофронтовой областью».

Определение (порядка между фронтами). Пусть дофронтовая область фронта $\gamma$ есть точечное множество $G$, а дофронтовая область для фронта $\gamma'$ есть область $G'$. Тогда, считается, что фронт «$\gamma$ быстрее $\gamma'$» ($\gamma \gg \gamma'$), или что «$\gamma'$ медленнее $\gamma$» ($\gamma' \ll \gamma$), если для всех достаточно больших $t < 1$ верно, что $G' \subset G$.

Теперь выбираем трансфинитную последовательность фронтов $\gamma^{*}_{\mu}$ таких, что:

(i) Фронт $\gamma^{*}_{\mu}$ содержит точку $R$ для всех достаточно больших $t < 1$ (зависящих от $\mu$), каков бы ни был ординал $\mu < \omega_1$.

(ii) Каковы бы ни были $\mu < \omega_1$ и $\nu < \mu$, для всех достаточно больших $t < 1$ (зависящих от $\mu$ и $\nu$) каждое из точечных множеств $\gamma^{*}_{\mu} \cap b^{*}_{\nu}$ и $\gamma^{*}_{\mu} \cap p^{*}_{\nu}$ состоит из единственной точки (Таким образом, остальные точки фронта не совпадающие с единственной точкой из $b^{*}_{\nu}$, находятся правее и левее линии $b^{*}_{\nu}$ для всех достаточно больших $t < 1$. Аналогично для $p^{*}_{\nu}$.). Линии $G^{*}_{\mu} \cap b^{*}_{\nu}$ и $G^{*}_{\mu} \cap p^{*}_{\nu}$ стремятся к линиям $b_{\nu}$ и $p_{\nu}$ равномерно с $\mu$-ой точки зрения, где $G^{*} _{\mu}$ – дофронтовая область для $\gamma^{*}_{\mu}$.

(iii) Каков бы ни был $\nu < \mu$, $\gamma^{*}_{\mu} \ll \gamma^{*}_{\nu}$.

Условия (ii) и (iii) довольно просто выполнимы в силу того, что не более чем счётно количество фронтов и линий, про которых говорится в условиях. В данном сообщении я не затрагиваю подробностей, детально разбирающих эту счётность, поэтому, читателю полезно продумать подробности.

Наконец, дадим трактовку движениям фронтов: С некоторой «радикальной», «предельной точки зрения» концы всех линий $b_{\nu}$, $b_{\nu'}$, $p_{\nu}$ и $p_{\nu'}$ различаются – уже при любых не более чем счётных ординалах $\nu$ и $\nu'$. Т.е. если $\nu < \nu' < \omega_1$, то $B_{\nu} < B_{\nu'} < E < P_{\nu'} < P_{\nu}$. Такая точка зрения возможна через отображение сектора $D$ в пространство размерности $\aleph_1$ (см. основную статью). Точно так же в нашей трактовке (толковании, интерпретации), т.е. по некоторому определению, получаем (полагаем), с позиции некоего наблюдателя, что, при $\nu < \nu' < \omega_1$, линии $b^{*}_{\nu}$, $b^{*}_{\nu'}$, $p^{*}_{\nu'}$ и $p^{*}_{\nu}$ отождествляются с «неподвижными линиями», концы которых на дуге $C^*$ различаются. Т.е. $B^{*}_{\nu} < B^{*}_{\nu'} < E^* < P^{*}_{\nu'} < P^{*}_{\nu}$ для соответствующих концов, где $E^*$ – точка, аналогичная $E$. Дофронтовая область $G^{*}_{\mu}$ в нашей трактовке, расширяясь, захватывает всё новые и новые точки, каждой из линий $b^{*}_{\nu}$ или $p^{*}_{\nu}$, где $\nu < \mu$, и в итоге, точка пересечения фронта $\gamma^{*}_{\mu}$ и, к примеру, «неподвижной линии» $b^{*}_{\nu}$, устремляется самым обычным образом к концу $B^{*}_{\nu}$ этой «неподвижной» $b^{*}_{\nu}$. Точно так же и для линии $b^{*}_{\nu'}$, когда $\nu' < \mu$, точка $b^{*}_{\nu'} \cap \gamma^{*}_{\mu}$ устремляется к концу «неподвижной» $b^{*}_{\nu'}$, т.е. к точке $B^{*}_{\nu'}$. В силу условия (ii), и поскольку всё то же самое мы можем рассмотреть и с $\mu$-ой точки зрения, геометрическая переменная точка $R$ должна располагаться на фронте $\gamma^{*}_{\mu}$ правее линии $b^{*}_{\nu'}$ и правее геометрической точки $b^{*}_{\nu'} \cap \gamma^{*}_{\mu}$ для всех достаточно больших $t < 1$, так как устремлена к $E$. Тем более, $R$ находится правее $b^{*}_{\nu}$ для всех достаточно больших $t < 1$. Аналогично, $R$ находится левее $p^{*}_{\nu}$ для всех достаточно больших $t < 1$.

Сделаем дополнительное замечание. Пусть уже определён некоторый фронт $\gamma^{*}_{\nu}$ c $\nu$-ой точки зрения рассмотренный. И пусть мы определили фронт $\gamma^{*}_{\mu}$ для $\mu > \nu$. Тогда взаимное расположение фронтов определяется однозначно как в дофронтовой области $G^{*}_{\mu}$, так и вне области $G^{*}_{\mu}$ в секторе $D^*$. Пусть $k^*$ – какая-нибудь из линий $b^{*}_{\iota}$ или $p^{*}_{\iota}$, где $\iota < \mu$. Мы хотим, чтобы $\mu$-ая точка зрения, если необходимо, была бы подправлена так, чтобы с неё было видно, что «линия $k^*$ устремлялась бы к своему пределу $k$ равномерно». Для этого, в каждый момент $t$ можно «дорисовывать» на плёнке $D^*$ продолжение $\delta$ каждой линии $k^* \cap G^{*}_{\mu}$ вне дофронтовой области так, чтобы, в итоге, дорисованная $k^* \cap G^{*}_{\mu}$, т.е. собственно линия $k' = (k^* \cap G^{*}_{\mu}) \cup \delta$, стремилась бы к линии $k$ равномерно с $\mu$-ой точки зрения. Продолжения для линий, для которых $\iota > \mu$, при данном $\mu$, определится однозначно, так как известно взаимное расположение всех линий или им эквивалентных. И можно считать, при этом, что объединение линий, для которых $\iota < \mu$, или им эквивалентных, образует всюду плотное в $D^*$ точечное множество. В итоге, выстраиваема непрерывная биекция $F_{\mu}$ сектора $D^*$ на себя, которая в каждый фиксированный момент $t < 1$ переводит линию $k'$ в $k^*$ уже для любого $\iota < \omega_1$. При этом, в тот же момент $t$ каждую точку $P$ в области $G^{*}_{\mu}$ биекция $F_{\mu}$ переводит в ту же точку $P$. Т.е. биекция в отмеченный момент $t$ совпадает с тождественным отображением в области $G^{*}_{\mu}$. В результате, множество дорисованных линий остаётся изоморфным множеству изначальных линий $k^*$. Фронт $\gamma^{*}_{\nu}$ тогда так же, в дофронтовой области оставляем прежним, т.е. не меняем его часть $\gamma^{*}_{\nu} \cap G^{*}_{\mu}$. Но вне дофронтовой области его дорисовываем так, чтобы относительное расположение его точек и точек линий $b^{*}_{\iota}$ и $p^{*}_{\iota}$ (пересечения с этими линиями) при любом $\iota < \omega_1$ осталось бы в точности таким, как и при наблюдении этого фронта с $\nu$-ой точки зрения. Т.е. фронт $\gamma^{*}_{\nu}$ при каждом $\nu < \mu$ заменяем на фронт, который при отображении $F_{\mu}$ переходит в $\gamma^{*}_{\nu}$.

В итоге, с каждой «подправленной» $\mu$-ой точки зрения линии $b^{*}_{\nu}$ и $p^{*}_{\nu}$ стремятся к своим пределам равномерно. И поэтому это так и с «предельной», «радикальной» точки зрения. Этим теперь полностью обоснована наша трактовка «движения фронтов».

Геометрическая точка $R$ поэтому, по трактовке, прочерчивает по «неподвижным линиям» сектора $D^*$, т.е. по всевозможным линиям $b^{*}_{\nu}$ и $p^{*}_{\nu}$ линию $h^*$, для которой оказывается, что $b^{*}_{\nu} \ll h^* \ll p^{*}_{\nu}$, каков бы ни был ординал $\nu < \omega_1$. Отождествляя линии $b^{*}_{\nu}$ и $p^{*}_{\nu}$ с линиями $b_{\nu}$ и $p_{\nu}$, отождествляем $h^*$ с искомой линией $h$.

[Инт]

§2. Дальнейшие выводы

Вывод можно продолжить и для другого типа сечений, когда одна из последовательностей линий счётна. Аналогично, при увеличении длин трансфинитных последовательностей, доказуемо, что $2^{\aleph_1} = 2^{\aleph_2}$ и т.д. Заметим, что данные трактовки принципиально не различимы с «прямыми доказательствами», т.е. нет никакого заведомого критерия по этому поводу (см. так же статью энциклопедии Виноградова «Континуум-гипотеза», написанную Гришиным В.Н.).

Полученный результат не совместим с неконструктивным выводом Цермело о возможности вполнеупорядочить каждое множество. Поэтому, обсудим эту несовместимость результатов.

Проверка доказательства Цермело, ещё и ещё раз, убеждает, что каждый шаг цермеловского доказательства и аналогичных ему верен. Но создаётся впечатление, что хотя «локально» рассуждения верны, «глобально» они не учитывают «слишком больших множеств» и в итоге ошибочны. Известно, например, из математической практики, что рассуждение, претендующее быть «доказывающим», можно отвергнуть как «доказательство», если найти пример, когда это рассуждение проходит, но в условиях, когда доказываемый факт места не имеет. Подобное просматривается для «аргументов Цермело». Чисто формалистскую позицию мы сразу выбрасываем, так как нет никакого критерия в том, что та или иная формализация адекватны изначальному представлению о рассматриваемых предметах (не доказано, что не найдётся формализация того же, но более лучшая). Такая адекватность принципиально неустановима формалистами. Поэтому переходим к рассмотрению по существу. Но тогда известно, вне зависимости от каких-либо теорий, что существуют «очень большие множества» для которых почему-то обычные теоретико-множественные операции приводят к противоречиям (думаю, что из-за невозможности адекватно применить понятие «все». «любой» для этих «множеств»). В частности, вне зависимости от теорий, «множество всех ординалов» очевидно существует. Для последнего множества, в частности, процесс вполнеупорядочения всегда продолжаем, но никогда не может завершиться. Аналогичные свойства имеют «функции» и «функции выбора» на множестве «всех ординалов», как потенциальные процессы, между которыми существуют отношения похожие на отношения между «обычными множествами». Два процесса, изображающие «большие множества», могут иметь «пересечение», т.е. некий процесс, включённый в оба из них, и т.п. Иными словами, рассуждения верные для обычных множеств часто проходят и для процессов. Поэтому, многие рассуждения могут не различать, когда же множество можно считать завершаемым, а когда оно принципиально не завершаемо. Таким образом, рассуждение Цермело так же не различает эту тонкость, доказывая только, что существует лишь «процесс вполнеупорядочивания», не влекущий ни возможности его завершения, ни завершения «функции выбора» на каком-нибудь «большом множестве». Можно заметить, что формалисты при этом фактически директивно назначают «завершение любых процессов», например, таким «аргументом», что в теории ZFC нет «потенциальных» множеств. Хотя никаким конструктивным путём не могут гарантировать, что уже среди ими же «признанных множеств» не содержаться «скрытые процессы». Нахождение истинной мощности континуума только подтверждает мой аргумент.

[Someone]

Насколько помню, мы с Вами всё это уже обсуждали. У Вас всё такое же размахивание руками со ссылкой на очевидность вместо аккуратных доказательств, и аксиомы, несовместные с ZFC, из которых и следует всё на свете. Во всяком случае, существенной разницы с тем, что Вы излагали прошлый раз, не заметно.

Не вижу смысла повторять всё с самого начала. Если только кто-нибудь другой захочет с Вами беседовать. Но тогда основные идеи и аксиомы Вы должны изложить здесь, а не просто ссылаться на свои сочинения.

[Инт]

Доказательство здесь на форуме можно назвать "популярным". Доказательство в статье - точное, аккуратное, без ссылок на очевидность. Голословные утверждения не касающиеся технического разбора игнорирую.

-- Пт окт 26, 2012 23:37:02 --

К тому же, прыгать по ссылкам не удобно. И здесь действительно отчасти повторены некоторые определения от прошлого обсуждения.

-- Пт окт 26, 2012 23:48:31 --

Кстати, основные идеи, доказательства и теоремы здесь на форуме и предъявлены. а статьи лишь в помощь.

[Someone]

На здоровье.

Инт в 1005.0059v2.pdf писал(а):

4.2. Укажем на ещё один полезный эквивалент аксиомы III.
Теорема VI. Пусть $S$ и $S(n, m)$, при $n$, $m\in N$, суть вполне упорядоченные множества такие, что $\forall n\ S(n,m+1)\supset S(n, m)$, $S=\cup_mS(n,m)$, $\operatorname{card}S=\operatorname{card}S(n,m)\geq\aleph_0$. Тогда, существует строго возрастающая функция $m^*$ такая, что для каждой $P\in S$, при всех достаточно больших $n\in N$ (зависящих от $P$), $S(n,m^*(n))\ni$ $P$.

Если $S$ – множество всех конечных и счётных ординалов, то для каждого достаточно большого $P\in S$, для всех достаточно больших $n\in N$ (зависящих от $P$) $P\in S(n, m^*(n))$.

Отметим общезначимость теоремы VI на классе вполне упорядоченных множеств, и то, что она не апеллирует к топологическим отношениям.
Доказательство. Для функций отображающих натуральный ряд в натуральный ряд введём отношение сравнения $-<$. Если $f$ и $g$ такие функции, то считаем, что $f-<g$, если для всех достаточно больших $n$ $f(n)\leq g(n)$. Аксиома III эквивалентна утверждению, что для любого множества функций $S’$ мощности $S$ существует функция $h$ такая, что для любой функции $f$ из $S’$ $f-<h$ (проверить эту очевидность предоставляется читателю). Для каждого $P\in S$, для каждого натурального числа $n$ найдём натуральное число $m_P(n)$, что для всех $m\geq m_P(n)$ элемент $P$ содержится в $S(n,m)$. По аксиоме III, для множества функций $m_P$ существует функция $h$ такая, что $m_P-< h$ для любой $m_P$. Следовательно, каков бы ни был элемент $P$, для всех достаточно больших $n$ $S(n,h(n))\ni P$. Полагаем тогда $m^*=h$. Обратно, пусть $m^*$ существует. Тогда из условия, что для всех достаточно больших $n$ $S(n,m^*(n))\ni$ $P$, вытекает, что для каждой функции $m_P$ верно неравенство $m_P-< m^*$, ч.т.д.

"Эта очевидность", очевидно, неверна, если $\operatorname{card}S=2^{\aleph_0}$. Не всегда она верна и в тех случаях, когда $\aleph_1\leqslant\operatorname{card}S<2^{\aleph_0}$.

Инт в сообщении #636268 писал(а):

Кстати, основные идеи, доказательства и теоремы здесь на форуме и предъявлены. а статьи лишь в помощь.

Я и говорю: мы это уже обсуждали, и повторять старое обсуждение нет смысла. Поскольку лучше не стало. У Вас по-прежнему всё базируется на неких "трансформациях", существование которых не доказано и не может быть доказано в рамках ZFC, поскольку оное существование противоречит ZFC.

[Инт]

Someone в сообщении #636289 писал(а):

"Эта очевидность", очевидно, неверна, если $\operatorname{card}S=2^{\aleph_0}$. Не всегда она верна и в тех случаях, когда $\aleph_1\leqslant\operatorname{card}S<2^{\aleph_0}$.

Как Вы справедливо заметили, для множества $S$ мощности континуума "очевидность не верна". Это и есть следствие аксиом, сфомулированных в прошлый раз. "Очевидность" (т.е. вывод неравенства на функциях из принятой аксиомы) является следствием аксиомы в отношении только вполнеупорядочиваемых множеств $S$. По этому различию и можно, в частности, установить большую мощность континууума.

Что касается выразимости трансформаций в ZFC, то каждая трансформация тривиально выразима в пространстве-произведении размерности $\aleph_1$ или большей. См. вторую статью.

Что касается "это мы уже проходили", то Вы взяли цитату из предыдущей старой статьи, которую я упоминал, и которая действительно в данной теме уже не обсуждается. Зачем же к ней возвращаться? Хотя её полезно иметь перед глазами для того, чтобы помнить некоторые формулировки, определения и теоремы.

Здесь обсуждается доказательство одной из аксиом, как геометрической теоремы в трактовке ZFC. При этом, аксиома заранее имеет такую более слабую форму, чтобы не противоречить ZFC.

И наконец ZFC это не священная корова.

[bot]

Инт в сообщении #636307 писал(а):

И наконец ZFC это не священная корова

Не корова и не священная. Вы её принимаете или нет?

[Инт]

Что значит "принимаю"? Принимай не принимай имеем следующее:

Аксиомы, сформулированные мною, выразимы в языке ZF. Вне зависимости от того, какие постулаты ZFC считаются верными. Мало того, мои аксиомы трактуемы средствами теории T = ZF + "ограниченная аксиома выбора". В "ограниченной аксиоме выбора" функцию "зависимого выбора" ограничиваем какой-нибудь достаточной мощностью, например, $\aleph_2$. Трактуемость аксиом означает, что геометрические, топологические отношения, которые используются в формулировках аксиом, определимы формально на языке ZF и доказуемы средствами теории Т, т.е. через постулаты теории Т.

Стоит отметить, что нет никакой однозначности в подборе трактовок, т.е. на языке ZF можно дать бесконечное количество трактовок одного и того же.

Каково бы ни было кардинальное число $m$, соответствующее мощности вполенупорядочиваемого множества, подбором достаточной мощности функции выбора, т.е. применением достаточной Т (зависящей от принципа выбора), доказуемо, что мощность множества действительных чисел (или множества всех частей натурального ряда и т.п. множеств) больше, чем $m$. Т.е. мощность континуума больше, чем мощность любого вполнеупорядочиваемого множества.

Тем самым, устанавливается, т.е. доказуемо напрямую, что аксиома Цермело приводит ZFC к противоречию. Т.е. ZFC бессмысленно использовать как окончательную, непререкаемую. Стоит, поэтому, изыскивать реальные причины такого положения вещей.

Те мои конструкции и теоремы, которые доказуемы в рамках Т, а точнее, которые доказуемы интуиционистскими средствами (т.е. не опирающимися вообще ни на какую теорию, достигающими безусловного различения и полного знания в вопросе) носят абсолютный характер, т.е. являются безусловными математическими фактами. Поэтому, опираемся только на эти факты.

[Инт]

Заметил систематическую опечатку: В замечании 3, в определении порядка для фронтов и в условиях (i) и (ii) везде, где там стоит "для всех достаточно больших $t(n) <1$" должно стоять "для всех достаточно больших $t <1$" Можно ли, сделать эти исправления в первом посте?

[Toucan]

Тема перенесена в Карантин, чтобы дать ТС возможность сделать исправления.

После того как отредактируете сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»