Уравнение с параметром

[DjD USB]

Найти все значеня параметра а при котором уравнение $4^x-(2a+7)14^x+7^{2x+1}2a=0$ имеет один корень.
Вначале я поделил на $7^{2x}$ потом замена $(\frac{2}{7})^x=t, t>0$ Потом нахожу дискриминант, $D=(2a+7)^2-56a=(2a-7)^2=0; a=\frac{7}{2}$. У меня один ответ, но в ответе от минус бесконечности до нуля включительно и еще семь вторых( т.е то что у меня получислось). где у меня ошибка или что я упустил?

[Someone]

Вы упустили, что Вам нужны только положительные корни.

[DjD USB]

Ну хорошо найдем корни. $t_1=\frac{2a+7-2a+7}{2}=2a. \ 2a>0, a>0. t_2=7$. Верно?

[gris]

Можно проще порассуждать. По $t>0 $ переменная $x$ определяется однозначно. Значит нам надо, чтобы после замены уравнение имело единственный положительный корень. То есть два корня разных знаков или один двойной положительный.

[DjD USB]

Как понять один двойной?

[gris]

То, что Вы нашли. Если дискриминант равен нулю, то имеется единственный корень. В нашем случае он будет "двойным". Так называется.Это не важно. Надо проверить, что он положителен.
А если дискриминант не равен нулю, то корней либо нет, либо их два. Если два, то они либо одного знака, либо разных. В общем, для анализа не обязательно находить сами корни, достаточно поработать с коэффициентами.

[DjD USB]

Т.е а не больше нуля, а меньше либо равен т.к. у нас уже есть положительный корень и он должен быть единственный

[gris]

Кстати, корни Вы нашли неправильно. Там должен быть модуль.
Очень полезно хорошо ориентироваться в квадратном трёхчлене. Когда там корни каких знаков.
Мы можем сразу сказать, что при $a<0$ у нас будет ровно один положительный корень $(t)$. При $a=0$ один корень равен нулю, а знак второго придётся проверить подстановкой. При $a>0$ уравнение имеет корни (дискриминант неотрицателен, хотя для нас это тоже не важно). Либо два одного знака, что нас не устраивает, либо один. Это тот случай, когда дискриминант нулевой. Надо показать, что этот корень положителен.

[DjD USB]

gris в сообщении #636038 писал(а):

Кстати, корни Вы нашли неправильно. Там должен быть модуль.
Очень полезно хорошо ориентироваться в квадратном трёхчлене. Когда там корни каких знаков.
Мы можем сразу сказать, что при $a<0$ у нас будет ровно один положительный корень $(t)$. При $a=0$ один корень равен нулю, а знак второго придётся проверить подстановкой. При $a>0$ уравнение имеет корни (дискриминант неотрицателен, хотя для нас это тоже не важно). Либо два одного знака, что нас не устраивает, либо один. Это тот случай, когда дискриминант нулевой. Надо показать, что этот корень положителен.

Да я тоже самое имел ввиду. Я просто не расписывал и ноль нас не устраивает т.к. положительные корни нужны.