Ковариантный / контравариантный вектор

[pohius]

Во многих учебниках пишут: Рассмотрим как преобразуются дифференциалы при преобразованиях координат.
$dx^{i\prime}=\frac{\partial x^{i\prime}}{\partial x^j}dx^j$
... таким образом, вектор преобразующийся по правилу
$a^{i\prime}=\frac{\partial x^{i\prime}}{\partial x^j}a^j$
назовем контравариантным.
Теперь рассмотрим скалярное поле ... бла ... бла ... совокупность величин, преобразующиеся по закону
$a_i^\prime=\frac{\partial x^j}{\partial x_i^\prime}a_j$
назовем ковариантным вектором.

Ну во первых это не контр/ковариантные векторы а контр/ковариантные компоненты вектора. Вектор инвариант, и не зависит от системы отсчета, а вот его компоненты да. Геометрически это все красиво показано у Борисенко Тарапов с помощью взаимного базиса.

Теперь, по аналогии с учебником: Рассмотрим как преобразуются дифференциалы при преобразованиях координат:
$dx_i^\prime=\frac{\partial x^j}{\partial x_i^\prime}dx_j$
(Заметьте, что теперь я взял ковариантные компоненты!) Теперь я так же могу заявить что вектор преобразующийся так же как дифференциал называют ковариантным.

Тогда зачем вообще нужно было брать эти два примера с дифференциалом и градиентом?

[Munin]

Ну это не для математиков объяснение, а для физиков и технарей. Вообще для математиков честно вводят понятие ковектора, и оказывается, что в пространствах без скалярного произведения векторы и ковекторы лежат в разных пространствах, хотя в них они и не зависят от выбранного базиса; а если добавить скалярное произведение, то окажется, что каждый ковектор взаимно-однозначно соответствует некоторому вектору, и их можно дальше не различать. Но каждый вектор можно описать либо в базисе его исходного пространства (тогда получаются контравариантные компоненты), либо в базисе сопряжённого ему пространства ковекторов (тогда получаются ковариантные компоненты). Опять же, в ортонормированных базисах и это различие исчезает.

[pohius]

Понятно, спасибо.
По мне так лучше бы сразу об этом говорили, потому что сразу становится понятным смысл метрического тензора как отображения из ко в контр и обратно, а не эти магические поднятия и опускания индексов.

[Eau]

а можете посоветовать литературу по этому вопросу?

[Munin]

Какие-то учебники по линейной алгебре, но не все, а предпочтительно для математических специальностей. Конкретней не могу, надеюсь, кто-нибудь ещё предложит.

[g______d]

Скорее по дифференциальной геометрии. Практически в любом учебнике есть нормальное (т. е. бескоординатное) определение касательного вектора и кокасательного вектора (1-формы) и объяснение того, как с ними работать в координатах.

[Munin]

Ну да, эти понятия потом heavily используются в дифгеме, но вводятся всё-таки в линале. Единственно, что линал должен при этом даваться культурно, в контексте будущего дифгема, и с заделом на него.

[Ribocyte]

Munin в сообщении #635395 писал(а):

Но каждый вектор можно описать либо в базисе его исходного пространства (тогда получаются контравариантные компоненты), либо в базисе сопряжённого ему пространства ковекторов (тогда получаются ковариантные компоненты). Опять же, в ортонормированных базисах и это различие исчезает.

Если в векторном пространстве скалярами являются элементы некоммутативного тела, то сопряжённые пространства буду существенно различаться, не смотря на одинаковую размерность. Одно будет правым, другое - левым.

Обычно для технарей такие тонкости опускаются, да и не все физики в курсе, поскольку в теор. физике часто векторные пространства рассматриваются только на поле комплексных чисел - а в этом случае правые и левые пространства совпадают из-за коммутативности поля скаляров, и о существовании таких тонкостей технари могут просто и не знать. А потому и сопряжённые пространства - по сути одно и то же.

Из литературы мне по душе - Ван-дер-Варден "Алгера" - лаконично и всё по существу.

[Munin]

Да, я подразумевал коммутативный случай. Спасибо за уточнение и пояснение.

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые Участники Научного Форума!

Похоже, что автор темы не знает об этой дискуссии topic29600.html

[Munin]

А и не надо.

[Oleg Zubelevich]

Ribocyte в сообщении #635940 писал(а):

Обычно для технарей такие тонкости опускаются, да и не все физики в курсе

ну почему только технари? некомутативный случай вообще никому почти не интересен за пределами общей алгебры. А книга ВанДер Вардена действительно хороша, но курса линейной алгебры не заменяет, она просто недостаточна для этого. Так, что простите, но Ваше замечание в контектсе головного поста выглядит нелепо.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #638055 писал(а):

некомутативный случай вообще никому почти не интересен за пределами общей алгебры.

Не так всё просто, к некоммутативным конструкциям всё больше интереса.

[g______d]

Векторные пространства над телами, не являющимися полями, --- довольно экзотический объект. А вот модули над кольцами где только не попадаются. И левые, и правые, и двусторонние.

Ну и двойственный модуль далеко не всегда изоморфен исходному, даже для конечно порожденных модулей над коммутативным кольцом.

[Alex_J]

Как правило, начинать нужно с понимания сути.
Как уже было кем-то сказано, не понимая смысла, прячутся за формулами.
Когда автор поймёт и осознает, чем различаются ко- и контра-, то и остальные вопросы должны сами собой отпасть.