Вопрос для адептов линейной алгебры

[Mark555]

Очень краткая биография автора(жалкое оправдание своей тупости) : Студент 1-го курса Мехмата. Препод диктует слишком быстро, пишет на доске неразборчиво, обещает поставить всему потоку не выше 1-го, 2-х баллов из 10 по коллоквиуму и прочие ужасы. Так что приходится разбираться самому. Одна из задач, которую препод дал на коллоквиум, а точнее её формулировка привела меня в состояние "не было бы так смешно, если не было бы так грустно".

Цитирую:

"Из координат каждого вектора данной системы векторов одного и того же числа измерений выберем координаты, стоящие на определенных(одних и тех же для всех векторов) местах, сохраняя их порядок; полученную систему векторов будем называть УКОРОЧЕННОЙ для первой системы, а первую систему будем называть УДЛИНЕННОЙ для второй.
Доказать, что:
а) укороченная система любой линейно зависимой системы векторов линейно зависима.
б) удлиненная система любой линейно независимой системы векторов линейно независима."

Задача из Кострикина номер 2.1.4.

Читал ужо и Проскурякова и Шевцова. Не помогает.
Так что обращаюсь за помощью к адептам линейной алгебры. Объясните че делать-то.
Спасибо

[nnosipov]

Mark555 в сообщении #635449 писал(а):

Объясните че делать-то.

Понять определение линейно зависимой системы векторов.

[Mark555]

Я знаю что такое линейная зависимость/независимость векторов. И приблизительно понимаю, что нужно сделать. Но я не понимаю какая разница между укороченной и удлиненной системами

[Someone]

Укороченная имеет меньше координат. В условии же ясно написано, что берётся только часть координат каждого вектора (одна и та же для всех векторов).

[Mark555]

Надо доказать, что если у нас есть линейно зависимая система любых векторов, то укороченная или удлиненная система этих же векторов тоже будет линейно независимой.

Если есть система векторов а1 и а2 и она линейно зависима, то система векторов a1 и a2 без, допустим, последних координат тоже будет линейно зависима. Я правильно понял?

[nnosipov]

Mark555 в сообщении #635458 писал(а):

Если есть система векторов а1 и а2 и она линейно зависима, то система векторов a1 и a2 без, допустим, последних координат тоже будет линейно зависима. Я правильно понял?

Да, правильно. Была линейно зависимая система векторов. Все векторы системы укоротили одинаковым способом, и получилась снова линейно зависимая система векторов. Вот это и нужно понять.

[ewert]

Mark555 в сообщении #635449 писал(а):

Доказать, что:
а) укороченная система любой линейно зависимой системы векторов линейно зависима.
б) удлиненная система любой линейно независимой системы векторов линейно независима."

Во-первых, следует понимать, что эти два утверждения эквивалентны (и здесь нет вообще никакой линейной алгебры, лишь элементарная логика). Во-вторых, первое утверждение является прямым следствием формального определения линейной зависимости, надо лишь не полениться выписать это определение применительно к конкретно наборам координат.

[mihailm]

(Оффтоп)

Mark555 в сообщении #635449 писал(а):

...
Так что обращаюсь за помощью к адептам линейной алгебры. Объясните че делать-то...

Понять, что это очевидно