Неравенства для натурального логарифма

[Побережный Александр]

Уважаемые софорумники, может это и не в тему, но хочу предложить некоторые неравенства связанные с натуральным логарифмом числа.

Первое:
$\frac{x}e \geqslant \ln{x}$ для всей области определения, причем равенство будет достигается при $x=e$

Второе:
$x^\frac{1}e \geqslant \ln{x}$ для всей области определения, здесь равенство достигается при $x=e^e$

Как следствие получаются и такие неравенства:
$\ln{x} \geqslant e\ln(\ln(x))$ или $x \geqslant (\ln{x})^e$

Возможно кому-нибудь и понадобится это.

[Shadow]

С вашим первым утрверждением связана класическая задачка: Что больше $\pi^e \text{ или } e^{\pi}$. Вычислить без помощи калкулятора.

[Побережный Александр]

Какое из чисел больше $e^{20^\frac{1}3}$ или $(20^\frac{1}3)^e$.

[ewert]

Второе, естественно, эквивалентно первому; первое же тривиально следует из того, что график левой части есть касательная к графику правой (и если поставить перед собой задачу о нахождении такой касательной, выходящей из начала координат, то она решается шаблонно).

[Побережный Александр]

ewert в сообщении #635323 писал(а):

Второе, естественно, эквивалентно первому

Уважаемый ewert, я не совсем понял это выражение. Это разные числа, они точно не равны.
Вы конкретно можете указать большее число?

[bot]

(Оффтоп)

А он не о числах, про которые после Shadow уже и говорить неприлично, а про первое и второе из ресторана первого сообщения.