Норма в ортонормированном базисе

[RaiaN]

Привет всем. Имеется задача:
Дан ортонормированный базис. Найти норму матрицы линейного оператора A в этом базисе, если он(оператор) задан матрицей A=||a[i,j]||

До чего я добрался:
Мы имеем евклидово пространство,значит используем евклидову метрику для нахождения нормы, т.е.:
||A|| = sup||Ax||,причём ||x||<=1 и т.к. у нас ортонормированный базис, то норма любого элемента(x,н-р) равна 1, т.е. ||x||=1. Следовательно имеем:
||A||= sup ||A|| - тут надо каким-то образом перейти к евклидовой метрике, но т.к. у нас оператор задан матрицей, то возникает вопрос - как это можно сделать?
Может у кого есть какие-нибудь догадки?
Буду рад любой помощи

[Munin]

Техническое уточнение: на этом форуме нельзя писать формулы так, как пишете вы, а положено вот так:
$A=\|a_{i,j}\|$ $A=\|a_{i,j}\|$
$\|A\|=\sup\|Ax\|$ $\|A\|=\sup\|Ax\|$
$\|x\|\leqslant 1$ $\|x\|\leqslant 1$
$\|x\|=1$ $\|x\|=1$
$\|A\|=\sup\|A\|$ $\|A\|=\sup\|A\|$

[RaiaN]

[quote="Munin в сообщении #634326"]Техническое уточнение: на этом форуме нельзя писать формулы так, как пишете вы
Извините за неучтивость, больше так не буду

[мат-ламер]

RaiaN в сообщении #634298 писал(а):

тут надо каким-то образом перейти к евклидовой метрике,

А в какой метрике мы были до сих пор?

RaiaN в сообщении #634298 писал(а):

но т.к. у нас оператор задан матрицей, то возникает вопрос - как это можно сделать?

Я так понял это, что если бы оператор был задан не матрицей, то вопроса не возникало?
Да, и какую норму матрицы Вы ищите? Их много разных.

[RaiaN]

А в какой метрике мы были до сих пор?
До того момента никакой связи с метрикой нет.
Я так понял это, что если бы оператор был задан не матрицей, то вопроса не возникало?
я полагаю, что да, но всё может быть
Здесь судя по всему мне нужно найти согласованную с евклидовой нормой норму матрицы A, т.е. которая равна корню квадратному из суммы квадратов элементов матрицы.
В итоге мне такое решение в голову пришло - развернуть матрицу в вектор и записать для вектора евклидову метрику - а затем, обратно и таким образом мы получил метрику Евклида для матрицы, не знаю верно ли это

[ewert]

RaiaN в сообщении #634298 писал(а):

||A|| = sup||Ax||,причём ||x||<=1

Это называется операторной нормой матрицы.

RaiaN в сообщении #634571 писал(а):

Здесь судя по всему мне нужно найти согласованную с евклидовой нормой норму матрицы A, т.е. которая равна корню квадратному из суммы квадратов элементов матрицы.

А это называется нормой Гильберта-Шмидта. И хотя она тоже норма, но -- отнюдь не операторная.

Операторной нормой матрицы относительно евклидовой нормы вектора является наибольшее из сингулярных чисел этой матрицы. Такую норму явно найти невозможно (вообще говоря) -- лишь численно.

[RaiaN]

ewert в сообщении #634601 писал(а):

RaiaN в сообщении #634298 писал(а):

||A|| = sup||Ax||,причём ||x||<=1

Это называется операторной нормой матрицы.

RaiaN в сообщении #634571 писал(а):

Здесь судя по всему мне нужно найти согласованную с евклидовой нормой норму матрицы A, т.е. которая равна корню квадратному из суммы квадратов элементов матрицы.

А это называется нормой Гильберта-Шмидта. И хотя она тоже норма, но -- отнюдь не операторная.

Операторной нормой матрицы относительно евклидовой нормы вектора является наибольшее из сингулярных чисел этой матрицы. Такую норму явно найти невозможно (вообще говоря) -- лишь численно.

Спасибо, многое стало ясно!