Сложные задачи

[boomeer]

1)Существует ли такая непрерывных на $R$ функций $D_n(x)$, что $D(x)=\lim_{n\to\infty}(D_n(x))$ при любом фиксированном $x \in R$
Пробовал чере представлении функции Дирихле в виде предела от предела от косинуса в степени $n$, но не выходит(
2) Пусть функция $f(x)$ отображает всякий интервал на интервал, верно ли, что она непрерывна? Решено
3) Привести пример непрерывной на всей числовой прямой $R$ функции, которая принимает каждое свое значение 3 раза.Существует ли непрерывная функция, принимающая каждое свое значение 2 раза?
4) Существует ли непрерывная действительная функция отличная от кривой Пеано определенная на отрезке $[0;1]$, принимающая каждое значение из отрезка $[0;1]$ в континууме точек.

[Профессор Снэйп]

А $D$ чему равно?

[boomeer]

Профессор Снэйп в сообщении #633989 писал(а):

А $D$ чему равно?

Функция Дирихле

[Профессор Снэйп]

Честно говоря, не знаю тогда. Вот идея: множество $\mathbb{Q}$ счётно и его можно пересчитать: $q_0, q_1, q_2, \ldots$. Ну и сделать $D_n$ "зубчатой", с "пиками" в $q_0, \ldots, q_n$, причём с ростом $n$ ширина зубцов сужается... Будет работать?

-- Пн окт 22, 2012 13:03:00 --

Нет, похоже не будет

[boomeer]

3) Решил

[Cash]

Не может. Для того, чтобы разрывная функция, определенная на $\mathbb{R}$ принадлежала первому классу Бэра, ей необходимо на каждом отрезке иметь хотя бы одну точку непрерывности.