Падение тела в воздухе

[Mig29]

Простая задачка. Тело массы $m$ падает под воздействием постоянной силы тяжести $mg$. Сопротивление воздуха $F = \rho v$, где $v$ - скорость. Начальная скорость $v_0$. Определить скорость когда тело пролетело высоту $h$

[photon]

Сначала Ваши попытки

[Mig29]

photon в сообщении #632731 писал(а):

Сначала Ваши попытки

Составляем уравнение $m\ddot z = \rho \dot z - mg$

, нашел решение $z(t)=\frac{{\rm{m}}}{{\rho ^2 }}\left( {\rho v_0 - mg} \right)\left[ {\exp \left[ {\frac{\rho }{m}t} \right] - 1} \right] + \frac{{mg}}{\rho }t$.

Теперь чтобы найти скорость в конце пути, надой найти время полета $T$ из уравнения $z(T) = h$. Но здесь сложность, так как необходимо решить трансцендентное уравнение.

[espe]

Mig29 в сообщении #632718 писал(а):

Определить скорость когда тело пролетело высоту $h$

Время можно найти из уравнения $v(T)=v$ и подставить в $z(T)=h$.

[Mig29]

espe в сообщении #632755 писал(а):

Mig29 в сообщении #632718 писал(а):

Определить скорость когда тело пролетело высоту $h$

Время можно найти из уравнения $v(T)=v$ и подставить в $z(T)=h$.

Нам известно, что тело пролетело высоту h, но не известно скорость в конце, то есть $v(T)=v$ отсюда не сможем найти время так как $v$ не известно

[espe]

Вам известно $z(t)$ и $v(t)$. Нужно найти $v(z)$.

Для этого выражаете $t$ как функцию от $v$ из $v(t)$ и подставляете в $z(t)$. Получаете как связяны $z$ и $v$. Находите $v(z)$.

Похоже,что можно найти только $z(v)$.

[Monkey]

Это задача из школьного курса или ВУЗовского?
Если из школьного может быть так решить:
$a = \frac F m = g - \rho \cdot \frac \upsilon m$
$\upsilon = \upsilon_0 + F \cdot \frac t m = \upsilon_0 + g \cdot t - \frac {\rho \cdot \upsilon \cdot t} {m}$
$\upsilon = \frac {\upsilon_0 + g \cdot t} {1 + \frac {\rho \cdot t} {m}}$
$h = \upsilon_0 \cdot t + \frac {a \cdot t^2} {2} = \upsilon_0 \cdot t + (g - \frac {\rho \cdot \upsilon} {m}) \cdot \frac {t^2} {2}$
где $a$ - ускорение
Подставляем скорость в последнее уравнение и, наверное, много сокращаем

Единственное смущает расхождение с Вашей формулой для пути и то, что при подстановке $t = 0$ он не обращается в 0

[Ms-dos4]

Представим ускорение в виде $\[\frac{{dv}}{{dt}} = \frac{{dv}}{{dh}}\frac{{dh}}{{dt}}\]$
Тогда
$\[\frac{{dv}}{{dh}} = \frac{{\frac{{dv}}{{dt}}}}{{\frac{{dh}}{{dt}}}} = \frac{{\frac{{dv}}{{dt}}}}{v}\]$
Выражение для $ \[\frac{{dv}}{{dt}}\]$ имеем из закона Ньютона (ось h направим вниз, считаем что тело падает из точки h=0)
$\[m\frac{{dv}}{{dt}} = mg - kv\]$
$\[\frac{{dv}}{{dt}} = g - \frac{k}{m}v\]$
Подставляя, получаем
$\[\frac{{dv}}{{dh}} = \frac{{g - \frac{k}{m}v}}{v}\]$
Это уравнение интегрируется легко, но вот выразить явно v(h) через элементарные функции нельзя
Обозначим для краткости $\[\gamma = \frac{k}{m}\]$
$\[\frac{{vdv}}{{g - \gamma v}} = dh\]$
$\[h + C = - \frac{v}{\gamma } - \frac{g}{{{\gamma ^2}}}\ln [g - \gamma v]\]$
$\[\gamma v + g\ln [g - \gamma v] = C - {\gamma ^2}h\]$
Mathematica подсказывает, что можно выразить v(h) через W-функцию Ламберта
С учётом начальных условий это будет выглядеть так:
$\[v(h) = \frac{g}{\gamma }(1 + {\rm{W}}[\frac{1}{g}(\gamma {v_0} - g)\exp [\frac{{\gamma {v_0} - g - {\gamma ^2}h}}{g}](\gamma {v_0} - g)])\]$
Формула подтверждается предельным переходом. При $\[\gamma \to 0\]$
Mathematica даёт верный ответ при отсутствии трения $\[v(h) = \sqrt {v_0^2 + 2gh} \]$

[Ms-dos4]

И только сейчас заметил у себя опечатку. Скобка $\[(\gamma {v_0} - g)\]$ конечно входит один раз. Правильно так($\[\gamma \]$ заменил обратно на $\[\frac{k}{m}\]$)
$\[v = \frac{{mg}}{k}(1 + {\mathop{\rm W}\nolimits} [(\frac{{k{v_0}}}{m} - g)\exp [\frac{{k{v_0}}}{{mg}} - \frac{{{k^2}h}}{{{m^2}g}} - 1]])\]$

[Батороев]

Сила сопротивления воздуха: $ma_c=\rho v$,

где $a_c$ - отрицательное ускорение торможения.

Ускорение тела: $a=g-a_c=g-\dfrac{\rho v}{m}$

$h=v_0\cdot t+\dfrac{a\cdot t^2}{2}=v_0\cdot t+\dfrac{(g-\dfrac{\rho v}{m})\cdot t^2}{2}$

Решив квадратное уравнение, получим $t$,

которое подставим в: $v=v_0+(g-\dfrac{\rho v}{m})\cdot t$

[miflin]

Использовать формулы равноускоренного(замедленного) движения для
движения с переменным ускорением как бы не совсем прилично...

[Батороев]

Что-то меня, правда, занесло! Тем более, что такое неправильное решение уже было представлено. Жаль, обеденный перерыв у меня короткий - в самый раз для небрежности.

-- 22 окт 2012 14:49 --

p.s. На самом деле сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости.