Представим ускорение в виде
![$\[\frac{{dv}}{{dt}} = \frac{{dv}}{{dh}}\frac{{dh}}{{dt}}\]$ $\[\frac{{dv}}{{dt}} = \frac{{dv}}{{dh}}\frac{{dh}}{{dt}}\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/f/e4fe36d685b6f96d48b6a0b75c5f583182.png)
Тогда
![$\[\frac{{dv}}{{dh}} = \frac{{\frac{{dv}}{{dt}}}}{{\frac{{dh}}{{dt}}}} = \frac{{\frac{{dv}}{{dt}}}}{v}\]$ $\[\frac{{dv}}{{dh}} = \frac{{\frac{{dv}}{{dt}}}}{{\frac{{dh}}{{dt}}}} = \frac{{\frac{{dv}}{{dt}}}}{v}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/4/5041142cad7bca8546014044a7f70e9c82.png)
Выражение для
![$ \[\frac{{dv}}{{dt}}\]$ $ \[\frac{{dv}}{{dt}}\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/1/ec1abd21e65c2f443c9b21da4cda61d382.png)
имеем из закона Ньютона (ось h направим вниз, считаем что тело падает из точки h=0)
![$\[m\frac{{dv}}{{dt}} = mg - kv\]$ $\[m\frac{{dv}}{{dt}} = mg - kv\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/4/9f408d876879b5cac801abf8c7756c6682.png)
![$\[\frac{{dv}}{{dt}} = g - \frac{k}{m}v\]$ $\[\frac{{dv}}{{dt}} = g - \frac{k}{m}v\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/9/8797755127b5c980bf0471547da24ad082.png)
Подставляя, получаем
![$\[\frac{{dv}}{{dh}} = \frac{{g - \frac{k}{m}v}}{v}\]$ $\[\frac{{dv}}{{dh}} = \frac{{g - \frac{k}{m}v}}{v}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/e/dce34e1e66eb0080c4768209bdca88ae82.png)
Это уравнение интегрируется легко, но вот выразить явно v(h) через элементарные функции нельзя
Обозначим для краткости
![$\[\gamma = \frac{k}{m}\]$ $\[\gamma = \frac{k}{m}\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/1/bf11a3b65dfad64143ea47025e34600082.png)
![$\[\frac{{vdv}}{{g - \gamma v}} = dh\]$ $\[\frac{{vdv}}{{g - \gamma v}} = dh\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/7/707a585b431f5ae3c5f4baaa235bef7282.png)
![$\[h + C = - \frac{v}{\gamma } - \frac{g}{{{\gamma ^2}}}\ln [g - \gamma v]\]$ $\[h + C = - \frac{v}{\gamma } - \frac{g}{{{\gamma ^2}}}\ln [g - \gamma v]\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/a/a7a376c825b3f594328cd9b18919e10982.png)
![$\[\gamma v + g\ln [g - \gamma v] = C - {\gamma ^2}h\]$ $\[\gamma v + g\ln [g - \gamma v] = C - {\gamma ^2}h\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/8/e/c8e02a891e1b1eac7efd8daab237f17982.png)
Mathematica подсказывает, что можно выразить v(h) через W-функцию Ламберта
С учётом начальных условий это будет выглядеть так:
])\]$ $\[v(h) = \frac{g}{\gamma }(1 + {\rm{W}}[\frac{1}{g}(\gamma {v_0} - g)\exp [\frac{{\gamma {v_0} - g - {\gamma ^2}h}}{g}](\gamma {v_0} - g)])\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/e/d/bedc29a2170f32911ffd64247760c10a82.png)
Формула подтверждается предельным переходом. При
![$\[\gamma \to 0\]$ $\[\gamma \to 0\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/1/431fb7c7a90f6116b4a90bd7ae9261c482.png)
Mathematica даёт верный ответ при отсутствии трения
![$\[v(h) = \sqrt {v_0^2 + 2gh} \]$ $\[v(h) = \sqrt {v_0^2 + 2gh} \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/d/34d52b7f8d8435c0c5b24139650971b982.png)