Стереометрия (школьная)

[незваный гость]

1. В пирамиде $SABC$ грани $SAC$, $SBC$ и $SAB$ равновелики, а сумма расстояний от середины $[BC]$ до граней $ASB$ и $ASC$ в полтора раза меньше высоты, опущенной на плоскость $ABC$ из точки $S$. Внутри пирамиды существует точка $M$ такая, что полусумма растояний от нее до вершин $A$ и $B$ равна сумме расстояний до всех граней пирамиды . Найти площадь полной поверхности пирамиды если $|AS| = \sqrt\frac{31}{11}$.

2. В пирамиде $SABC$ перпендикуляр к прямым $[AC]$ и $[BS]$ проходит через середину $[BS]$. Грань $ASB$ равновелика $BSC$, а площадь $ASC$ в два раза больше площади $BSC$. Внутри пирамиды существует точка $M$ такая, что сумма расстояний от $M$ до вершин $B$ и $S$ равна сумме расстояний до всех граней пирамиды. Найти $|MB|$, если $|AC| = \sqrt6$, а $|BS|=1$.

P.S. На приклееной записке указано, что это со вступительных экзаменов ВМиК. Может, кто-нибудь вспомнит? (Еще один возможный источник — «Квант».) Буду очень благодарен за справку.

[Brukvalub]

незваный гость писал(а):

Может, кто-нибудь вспомнит?

Как написано в МиМ: Голос за стеной сказал:Подумаешь, бином Ньютона...
Это задача № 5 (С) из варианта для ВМиК МГУ за 1977 г. (в 1977 г. абитуриенты имели право сдавать экзамены по одной из двух программ: старой, обучение по которой закончилось в 1976 г., и новой, "Колмогоровской", поэтому 1-2 задачи в вариантах имели альтернативные формулировки для каждой из программ. Приписка (С) означает, что эта задача предназначалась для выбравших экзамен по старой программе).

[ИСН]

Хренасе, а чем они (программы) так брутально отличались, что "я вашей математики не понимаю, давайте другие задачи"?

[Brukvalub]

ИСН писал(а):

:shock: Хренасе, а чем они (программы) так брутально отличались, что "я вашей математики не понимаю, давайте другие задачи"?

Старая программа не включала, например, начал анализа:убогое дифференцирование и ещё более убогое интегрирование, которые были введены в "новую" программу и в том же уродливом виде сохранены до настоящего времени. Вот задача 5 (Н) из того же варианта (о смысле обозначения (Н) Вам предстоит догадаться самому:D ) :Найти все значения параметра

\[\alpha \]

,

\[0 \le \alpha \le \frac{\pi }{2}\]

,при каждом из которых наименьшее значение функции

\[ f(x) = 3x^2 + 4x^3 (\cos \alpha - \sin \alpha ) - 3x^2 \sin 2\alpha \]

на отрезке

\[ \sin \alpha \le x \le \cos \alpha \]

принимает наименьшее значение.

[незваный гость]

Brukvalub писал(а):

Как написано в МиМ: Голос за стеной сказал:Подумаешь, бином Ньютона...

Спасибо! я верил в Вас. Только… которая из этих двух задач была в ВМиК 1977? Или обе?

[Brukvalub]

Обе, одна под №5 для старой программы, а другая, тоже под №5- для новой.

[незваный гость]

Brukvalub, Вы меня запутали. В моем исходном сообщении две задачи, плюс одна — в Вашем сообщении.

Как я понял Вас, одна из «моих» задач образует пару с приведенной Вами, а вторая? Или я не прав?

[Brukvalub]

незваный гость писал(а):

2. В пирамиде $SABC$ перпендикуляр к прямым $[AC]$ и $[BS]$ проходит через середину $[BS]$. Грань $ASB$ равновелика $BSC$, а площадь $ASC$ в два раза больше площади $BSC$. Внутри пирамиды существует точка $M$ такая, что сумма расстояний от $M$ до вершин $B$ и $S$ равна сумме расстояний до всех граней пирамиды. Найти $|MB|$, если $|AC| = \sqrt6$, а $|BS|=1$.

Прошу прощения, действительно, запутал.Я вёл речь о второй задаче, которую только что еще раз процитировал. К середине дня надеюсь сообщить о первой, сейчас мне не добраться до первоисточников. Я почему-то не заметил первой задачи. Но, надеюсь, как говаривал Лёлик:: "Шеф, я усё исправлю"

[незваный гость]

Спасибо! По-моему, она ходила под именем «Стереометрии века». Нельзя ли уточнить заодно ее условие? У меня такое чувство, что перпендикуляр из первой фразы должен делить оба отрезка пополам. Но может быть, это уже часть решения.

[Brukvalub]

Вот уточненные условия этих задач (обе были №5 (С) в вариантах ВМиК за 1977 г., внесенные мной изменения выделены темным цветом)
1. В пирамиде $SABC$ грани $SAC$, $SBC$ и $SAB$ равновелики, а сумма расстояний от середины $[BC]$ до граней $ASB$ и $ASC$ в полтора раза меньше высоты, опущенной на плоскость $ABC$ из точки $S$. Внутри пирамиды существует точка $M$ такая, что полусумма растояний от нее до вершин $A$ , $B$ и $C$ равна сумме расстояний до всех граней пирамиды . Найти площадь полной поверхности пирамиды если $|AS| = \sqrt\frac{31}{11}$
2. В пирамиде $SABC$ перпендикуляр к прямым $[AC]$ и $[BS]$ проходит через середину $[BS]$ . и пересекает $[AC]$Грань $ASB$ равновелика $BSC$, а площадь $ASC$ в два раза больше площади $BSC$. Внутри пирамиды существует точка $M$ такая, что сумма расстояний от $M$ до вершин $B$ и $S$ равна сумме расстояний до всех граней пирамиды. Найти $|MB|$, если $|AC| = \sqrt6$, а $|BS|=1$.

незваный гость писал(а):

Спасибо! По-моему, она ходила под именем «Стереометрии века».

Наверное, в то время эти задачи были достойны столь громкого названия. Но с тех пор на вступительных экзаменах на мех-мат и ВМиК МГУ было создано немало подобных, и даже более сложных стереометрических шедевров, так что сейчас эти задачи смотрятся просто как одни из ряда многих других...

[незваный гость]

Большое спасибо! Может быть, приведете примеры? Мне неудобно Вас просить, ну хоть картинками?

Огромное отдельное спасибо за исправления!

[Brukvalub]

незваный гость писал(а):

Может быть, приведете примеры?

Приведу, но только после 1 мая 2007 г.

[Brukvalub]

Привожу для начала пару обещанных шедевров задачестроения в стереометрии и сразу твердо обещаю, что не буду консультировать по их решению (так сказать, спасение утопающих - дело рук самих утопающих)
1.(мех-мат, май 2000 г. № 6) Параллельные плоскости P и Q делят тетраэдр ABCD на три части так, что объем средней части меньше объемов каждой из крайних частей. Расстояния от точек A и B до плоскости P равны 15 и 10 соответственно. Расстояния от точек A и C до плоскости Q равны 10 и 8 соответственно. Найти отношение площадей сечений тетраэдра плоскостями P и Q , если известно, что одно из этих сечений - трапеция, а расстояние от точки D до плоскости P меньше 12.
2. (ВМиК, 1991 г., № 6) Сфера радиуса R касается всех граней 8-гранника. Две его грани - основания - расположены в плоскостях P и Q, а остальные 6 граней - боковые грани - являются или равными между собой трапециями, или равными между собой равнобедренными треугольниками. При этом каждая бок. сторона треугольника является одновременно бок. стороной трапеции, а каждая бок. сторона трапеции является одновременно либо бок. стороной другой трапеции, либо бок. стороной одного из треугольников. Основания всех трапеций, имеющие длину

\[ \sqrt {13} \]

, расположены в плоскости Q и образуют многоугольник площади 12, а все другие основания трапеций и все основания треугольников расположены в плоскости P. Площадь поверхности сферы относится к суммарной площади бок. граней как

\[ \pi \]

относится к 5. Известно, что 3< R < 4. Найти R.

[незваный гость]

Спасибо! будет над чем поломать голову (после 5-го).