1. Пусть

. Доопределяем

для

. Если Функция

удовлетворяет уравнению теплопроводности при

, вроде все нормально получается и можно будет применить принцип максимума, а если не удовлетворяет, можно ли применить данный принцип?
2. С правой границей тот же вопрос.
3. Как быть если

?
Ну, вообще говоря, да ... Формально, на границе уравнение может не выполняться. Хотя, если мы таки докажем единственность, все там будет в порядке. Ну что же, тогда можно поступить так же, как и при доказательстве единственности в неограниченной области. Вместо функции

рассмотрим

. Причем,

и

. По построению,

не может иметь максимума на границе

. А значит достигает его или при

или при

. Далее устремляем

к 0. Точно так же разбираемся с минимумом (только вместо суммы рассматриваем разность). Аналогично этому разбираемся и с другими краевыми условиями. В качестве

можно взять что-нибудь типа

или

. Для краевых условий типа

можно ввести новую переменную

. Эта функция удовлетворяет аналогичному уравнению, а краевое условие приобретает "простой" вид. Короче, умножаем, делим, прибавляем и подгоняем под готовую схему.