Непрерывная биекция прямой на плоскость

[Chernoknizhnik]

Добрый час!
Речь идет о непрерывной биекции вещественной прямой на вещественную плоскость. Похоже, что я получил доказательство того, что такой биекции просто не существует, но почему-то это доказательство кажется мне "скользким".
Вот оно: прямую представим в виде счетного объединения отрезков. Тогда отображение с нужным свойством, существование которого мы предполагаем, отображает каждый отрезок на свой образ гомеоморфно, ибо непрерывная биекция компакта - гомеоморфизм (если образ живет в отделимом пространстве). Тем самым, плоскость распадается в счетное объединение гомеоморфных образов отрезка, которые нигде не плотны. Получаем противоречие с теоремой Бэра (если это так называется), согласно которой плоскость нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.
Уважаемые опытные коллеги, не закрался ли в приведенное доказательство пробел?

[Профессор Снэйп]

Chernoknizhnik в сообщении #631866 писал(а):

Тем самым, плоскость распадается в счетное объединение гомеоморфных образов отрезка, которые нигде не плотны.

Откуда берётся "нигде не плотность"?

[Chernoknizhnik]

Хороший вопрос и самое скользкое место. А это может быть не так?

[Padawan]

Нет, не может. По теореме Брауэра об инвариантности области http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/579

-- Ср окт 17, 2012 12:57:10 --

Ну в данном случае, очевидно, что гомеоморфный образ отрезка не может содержать никакого круга, так как, при выкидывании некоторой точки этого круга образ остается связным, а отрезок становится несвязным.

[Chernoknizhnik]

Понял, спасибо! Правильно ли я понимаю, что точно также можно доказать негомеоморфности (ведь, фактически, мы доказали негомеоморфность прямой и плоскости, что, конечно, и без того очевидно) пространств более высокой размерности, заменив лишь слово "отрезок" на "параллелотоп"?