Начально - граничная задача для уравнения теплопроводности

[Ёж]

Единственность решения первой начально - граничной задачи для уравнения теплопроводности

$u_t=a^2u_{xx},$

$u(x,0)=\varphi(x),$

$u(0,t)=\mu(t), u(l,t)=\nu(t)$

доказывается с помощью принципа экстремума. А как можно доказать единственность решений начально - граничных задач с граничными условиями

1) $u_x(0,t)=\mu(t), u(l,t)=\nu(t)$ ;

2) $u(0,t)=\mu(t), u_x(l,t)=\nu(t)$ ;

3) $u_x(0,t)=\mu(t), u_x(l,t)=\nu(t)$ ;

или посоветуйте литературу.

[Ёж]

В книге
Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики
написано, что «эти задачи требуют некоторого видоизменения доказательства» (199 стр.).

Почему то в литературе встречаются только решения данных задач, а доказательства единственности решений нигде нет. Может специалисты по уравнениям математической физики посоветуют литературу, где можно ознакомиться данными доказательствами?

[roma1990]

http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/pde.htm

В какой-нибудь точно будет, а вообще попытайтесь сами доказать по аналогии.

[Dan B-Yallay]

Метод энергетических оценок не пробовали?

[Ёж]

roma1990 в сообщении #631435 писал(а):

http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/pde.htm
В какой-нибудь точно будет, а вообще попытайтесь сами доказать по аналогии.

Смотрел многие книги, но пока не нашел
Мне не понятно "некоторого видоизменения доказательства» следует вести в теореме экстремума или в теореме единственности?

Dan B-Yallay в сообщении #631464 писал(а):

Метод энергетических оценок не пробовали?

К сожалению, я не так сильно разбираюсь во всем в этом. Не могли ли подсказать где можно ознакомиться методом энергетических оценок?
Но хотелось бы найти доказательство аналогичное для первой начально - граничной задачи (с помощью теоремы экстремума).

[sup]

Можно еще использовать четное продолжение. Пусть $u_x(0,t)=0$. Тогда доопределяем $u(x,t) = u(-x,t)$ для $x \in (-l,0)$. Ну а теперь применяем принцип максимума к этой функции. С правой границей можно поступить точно так же. Ну и, как говорится, вариации на тему.

-- Вт окт 16, 2012 10:40:45 --

С энергетическими оценками все просто. Нам надо доказать, что решение задачи с нулевыми начальными и гран. условиями - нулевое. Умножим уравнение на $u$ и формально проинтегрируем по частям. Получим: сумма положительных слагаемых равна 0. Для обоснования этого приема потребуется либо предполагаемая гладкость решения, либо теоремы о плотности гладких функций в нужных пространствах (на них получаем интегральное тождество и в силу плотности переносим его на все остальные функции).

[Ёж]

sup в сообщении #631476 писал(а):

Можно еще использовать четное продолжение. Пусть $u_x(0,t)=0$. Тогда доопределяем $u(x,t) = u(-x,t)$ для $x \in (-l,0)$. Ну а теперь применяем принцип максимума к этой функции. С правой границей можно поступить точно так же. Ну и, как говорится, вариации на тему.

-- Вт окт 16, 2012 10:40:45 --

С энергетическими оценками все просто. Нам надо доказать, что решение задачи с нулевыми начальными и гран. условиями - нулевое. Умножим уравнение на $u$ и формально проинтегрируем по частям. Получим: сумма положительных слагаемых равна 0. Для обоснования этого приема потребуется либо предполагаемая гладкость решения, либо теоремы о плотности гладких функций в нужных пространствах (на них получаем интегральное тождество и в силу плотности переносим его на все остальные функции).

Спасибо большое!
Буду разбираться...

[Ёж]

sup в сообщении #631476 писал(а):

Можно еще использовать четное продолжение. Пусть $u_x(0,t)=0$. Тогда доопределяем $u(x,t) = u(-x,t)$ для $x \in (-l,0)$. Ну а теперь применяем принцип максимума к этой функции. С правой границей можно поступить точно так же. Ну и, как говорится, вариации на тему.

Возникли некоторые вопросы:

1. Пусть $u_x(0,t)=0$. Доопределяем $u(x,t) = u(-x,t)$ для $x \in (-l,0)$. Если Функция $u(x,t)$ удовлетворяет уравнению теплопроводности при $x=0$, вроде все нормально получается и можно будет применить принцип максимума, а если не удовлетворяет, можно ли применить данный принцип?

2. С правой границей тот же вопрос.

3. Как быть если $u_x(0,t)=0, u_x(l,t)=0$?

[sup]

Ёж в сообщении #632080 писал(а):

1. Пусть $u_x(0,t)=0$. Доопределяем $u(x,t) = u(-x,t)$ для $x \in (-l,0)$. Если Функция $u(x,t)$ удовлетворяет уравнению теплопроводности при $x=0$, вроде все нормально получается и можно будет применить принцип максимума, а если не удовлетворяет, можно ли применить данный принцип?

2. С правой границей тот же вопрос.

3. Как быть если $u_x(0,t)=0, u_x(l,t)=0$?

Ну, вообще говоря, да ... Формально, на границе уравнение может не выполняться. Хотя, если мы таки докажем единственность, все там будет в порядке. Ну что же, тогда можно поступить так же, как и при доказательстве единственности в неограниченной области. Вместо функции $u(x,t)$ рассмотрим $\bar {u}(x,t) = u(x,t)+\varepsilon v(x,t)$. Причем, $v_t -a^2v_{xx}=0$ и $v_x(0,t)>0$. По построению, $\bar {u}$ не может иметь максимума на границе $x=0$. А значит достигает его или при $t=0$ или при $x=l$. Далее устремляем $\varepsilon$ к 0. Точно так же разбираемся с минимумом (только вместо суммы рассматриваем разность). Аналогично этому разбираемся и с другими краевыми условиями. В качестве $v(x,t)$ можно взять что-нибудь типа $x$ или $x(l-x)+2a^2t$. Для краевых условий типа $u_x(0,t)+u(0,t)=0$ можно ввести новую переменную $v(x,t)=e^x u(x,t)$. Эта функция удовлетворяет аналогичному уравнению, а краевое условие приобретает "простой" вид. Короче, умножаем, делим, прибавляем и подгоняем под готовую схему.