Будет ли данная система иметь бесконечно много решений?

[Nikolai Moskvitin]

Добрый день! Сейчас решаю систему:

$4q_1-r_1=k_1$
$r_1-4p_1=k_2$
$p_1-q_1=k_3$

как выяснилось, правые части линейно зависимы: $4k_3=-k_1-k_2$ Выразить через $k_1$, $k_2$ или $k_3$ переменные не получается. Значит ли это, что решений бесконечно много? Все величины в системе целые. Наверное, придётся рассматривать уравнения как диофантовы.

С уважением, Николай

[gris]

Целых решений может и не быть, например, если $k_1$ и $k_2$ имеют разную чётность.

++ Я чего-то решил, что правые части заданы.

[Aritaborian]

Да, решений бесконечно много. Все они представимы в виде
$k_1=a, k_2=3a+4b, k+3=-a-b, p_1=c, q_1=a+b+c, r_1=3a+4b+4c$, где $a, b, c$ — любые целые.
Или я ошибаюсь ;-)

[Nikolai Moskvitin]

gris в сообщении #629511 писал(а):

Я чего-то решил, что правые части заданы.

Правые части сами должны быть найдены, это переменные, введённые при замене.

Aritaborian в сообщении #629513 писал(а):

Да, решений бесконечно много. Все они представимы в виде
$k_1=a, k_2=3a+4b, k+3=-a-b, p_1=c, q_1=a+b+c, r_1=3a+4b+4c$, где $a, b, c$ — любые целые.
Или я ошибаюсь

Спасибо! Вы упростили мне работу.

[ewert]

Nikolai Moskvitin в сообщении #629507 писал(а):

Выразить через $k_1$, $k_2$ или $k_3$ переменные не получается.

Что значит "не получается"? Надо просто попытаться выписать общее решение. Вот Вы заметили, что левые части уравнений линейно зависимы; ну так и выкиньте одно из уравнений и решайте систему из двух оставшихся, т.е. выражайте две неизвестных через произвольную третью и правые части, обходясь по возможности без делений. Третье с этой точки зрения выкидывать нехорошо, т.к. при этом не избежать деления на четвёрку. А вот если выкинуть, скажем, первое, то из двух последних однозначно следует общее решение: $r=k_2+4p,\ \ q=p-k_3,$ где $p,k_2,k_3$ произвольны, после чего $k_1$ однозначно выражается из первого уравнения. И это, повторю, именно общее решение задачи.