Нормирование функционального пространства

[Chernoknizhnik]

Задачка касается пространства k-гладких (т.е. гладких k раз) вещественных функций, заданных на отрезке вещественной прямой. Вопрос: какие там "канонические" нормы? И соответственно, "канонические" сходимости (естественно, помимо равномерной)? Спасибо!

[Oleg Zubelevich]

а "канонические " это какие?

[alcoholist]

ну, самая разумная норма

$$ \|f-g\|=\sum_{k=0}^n\max_{x\in[a,b]}|f^{(k)}(x)-g^{(k)}(x)| $$

[ewert]

Chernoknizhnik в сообщении #630420 писал(а):

И соответственно, "канонические" сходимости (естественно, помимо равномерной)?

Видимо, никаких -- неравномерная сходимость не держит непрерывности. Если же отказаться от непрерывности старшей (только старшей) производной, то -- соболевские нормы.

alcoholist в сообщении #630531 писал(а):

ну, самая разумная норма

$$ \|f-g\|=\sum_{k=0}^n\max_{x\in[a,b]}|f^{(k)}(x)-g^{(k)}(x)| $$

Только это, формально говоря, не есть определение нормы.

[Chernoknizhnik]

Так и знал, спасибо, alcoholist!
Канонические - это естественные, привычные. Вам сказать Oleg Zubelevich, "каноническая норма евклидова пространства", Вы же поймете? Вот я и думал насчет гладких функций типа того же есть.

[alcoholist]

Chernoknizhnik в сообщении #630694 писал(а):

"каноническая норма евклидова пространства"

это практически тавтология)

евклидово=есть скалярное произведение

скалярное произведение порождает норму, никаких других норм попросту нет

[Chernoknizhnik]

Если честно, не могу понять смысла задачи из задачника - что "означает" сходимость по норме

$$ \|f-g\|=\sum_{k=0}^n\max_{x\in[a,b]}|f^{(k)}(x)-g^{(k)}(x)| $$

. Как здесь ответить? То и означает! А если нет других, как я выразился "канонических" нормирований, то что смысла задачи я не вижу. А может чего-то общеизвестного не знаю.

-- 14.10.2012, 15:04 --

alcoholist в сообщении #630697 писал(а):

Chernoknizhnik в сообщении #630694 писал(а):

"каноническая норма евклидова пространства"

это практически тавтология)

евклидово=есть скалярное произведение

скалярное произведение порождает норму, никаких других норм попросту нет

Согласен - хорошо, скажем "каноническая норма на вещественной прямой". Или "каноническая норма кольца целых гауссовых чисел".

[ewert]

Chernoknizhnik в сообщении #630698 писал(а):

. Как здесь ответить? То и означает!

Вопрос действительно поставлен чересчур лирично, однако содержательный ответ на него дать всё-таки можно: это означает равномерную сходимость каждой из производных. Только это должно быть никак не задачей или упражнением, а ремаркой в основном курсе.

[Chernoknizhnik]

Цитата:

это означает равномерную сходимость каждой из производных

Пожалуй, самый естественный ответ будет. Спасибо!