Процес Пуассона

[vlad_light]

Страховщик имеет 2 портфеля договоров страхования. Страховые случаи по первому и второму портфелю наступают в соответствии с пуассоновским процессом со средним 3 и 5 случаев в год соответственно. Эти два процесса независимы. Найти вероятность того, что по первому портфелю произойдёт 3 страховых случая раньше, чем 3 случая по второму.
Подскажите, как начать? Спасибо!

[vlad_light]

Получилось $\frac {1}{2^9}$, правильно?

[--mS--]

Нет, неправильно. Какое распределение имеет момент наступления третьего события в потоке Пуассона?

[vlad_light]

Если я не ошибаюсь, равномерное. Там ещё про порядковые статистики было: на примере я понимаю, как это, а вот реализовать на практике не могу... Насколько я понял, что если $\xi _i\sim U(0,1), i=1,...,3$ - моменты скачков по первому портфелю, а $\zeta _j\sim U(0,1), j=1,...,5$ - по второму, то нам нужно найти вероятность того, что $P(\xi _{(3)}<\zeta _{(3)})$, это верно?

[--mS--]

Равномерное тут вообще ни при чём. Ладно, а что Вы знаете про пуассоновский процесс? Например, какое распределение имеет время ожидания первого события потока? Время от первого до второго? Их совместное распределение?

(Оффтоп)

Равномерным в процессе Пуассона будет условное распределение моментов событий потока на заданном интервале при условии, что их число фиксировано. Например, если известно, что на отрезке $[a,\, b]$ произошло $n$ событий потока, то (условное) совместное распределение моментов этих событий такое же, как у координат $n$ точек, брошенных наудачу на данный отрезок. Ну или, если занумеровать события в порядке наступления, то (условное) совместное распределение последовательных моментов наступления этих событий такое же, как у порядковых статистик по выборке объёмом $n$ из равномерного распределения. Но это - условное распределение, при фиксированном числе событий на отрезке. В задаче же нет ни заданного отрезка, ни фиксированного числа произошедших на нём событий.

[vlad_light]

Могу только угадывать (наверное, показательное). Если Вам не трудно, можете на простом языке объяснить и послать меня куда-то?

(Оффтоп)

Коненчо, будет хорошо, если Вы сами об этом мне расскажете, поскольку Вы очень хорошо объясняете, но также понимаю, что Вы мне ничего не обязаны и я, кроме как спасибо, никак отблагодарить Вас не смогу. Вы и так мне уже во многом помогли.

[--mS--]

Показательное, конечно. Проблема в том, что не очень понятно, куда послать: процесс Пуассона можно ввести несколькими эквивалентными способами, и на какой из них Вам следует опираться, я не знаю. А про то, что интервалы между событиями пуассоновского потока показательные и независимые, даже и в википедии написано.

(Оффтоп)

Если, скажем, мыслить себе процесс Пуассона как вот в этой лекции (В.И.Афанасьев) http://www.math.msu.su/department/matst ... opic10.pdf , то он сразу даётся как процесс восстановления, построенный по показательным слагаемым: берём независимые и одинаково показательно распределённые слагаемые $X_1,X_2,\ldots$ с распределением $E_\lambda$, строим суммы $S_0=0$, $S_k=X_1+\ldots+X_k$, и процесс Пуассона есть $\xi(0)=0$, $\xi(t)=\max\{k\in\mathbb N~|~S_k \leqslant t\}$ - сколько раз успели суммы отметиться на отрезке $(0,t]$.
Но при таком определении следует доказывать остальные свойства процесса Пуассона, что и делается в теореме 2 (см. также аксиомы 1-3 на стр.4). А именно, следует доказывать, что количество событий процесса на любом интервале времени имеет распределение Пуассона с параметром, зависящим только от длины этого интервала, и что случайные величины, равные количествам событий на непересекающихся интервалах времени, независимы в совокупности.

Можно, наоборот, исходить из аксиом 1-3 (стр.4) как из определения процесса Пуассона. Тогда, например, просто получается, что время до первого события имеет показательное распределение: это время больше $t$, когда за интервал $(0, t]$ не случилось ни одного события потока. Эта вероятность в распределении Пуассона есть $\mathsf P(\xi(t)=0)=e^{-\lambda t}$. Вот и показательное распределение. Но независимость интервалов между событиями уже надо получать отдельно (см. там же задачу 2 на стр.5).

Мне больше нравится третье определение процесса Пуассона, из которого нужно долго и трудно получать искомые свойства, зато эффект красивый. Пусть в некоторые положительные случайные моменты времени наступают какие-то события, и наш процесс $\xi(t)$ считает число событий за время $(0, t]$. Предположим, что $\xi(t)$ обладает свойствами:
1) стационарность: распределение числа событий на интервале $(a+t, b+t]$ такое же, как на $(a,b]$ для любых $t>0$, $0\leqslant a < b$;
2) отсутствие последействия: для любых попарно непересекающихся интервалов количества случившихся в них событий суть взаимно независимые случайные величины;
3) ординарность: вероятность появиться двум или более событиям потока в любом интервале длиной $h$ есть $o(h)$ при $h\to 0$.

Тогда $\xi(t)$ является однородным процессом Пуассона со всеми вытекающими последствиями.
Получение остальных свойств процесса из этих мало к чему обязывающих качеств можно найти много где, обычно в лекциях любят такие вещи. Навскидку приходит в голову вот такой очень подробный источник: Б.В.Гнеденко, И.Н.Коваленко "Введение в теорию массового обслуживания", параграф 1.1. (см. libgen.org).

[vlad_light]

К сожалению, ничего не понятно Вы можете на примере этой или какой-нибудь другой задачи написать, как оно решается (хотя бы начать)? Я не понимаю, что чему соответствует, т.е. не могу построить мат. модель данной задачи.

[--mS--]

К сожалению, это означает, что Вам нужно почитать учебник. Любой, где было бы что-нибудь о процессе Пуассона. Или тот, на который ориентированы задачки - откуда-то ж они берутся.

[vlad_light]

Б.В.Гнеденко, И.Н.Коваленко "Введение в теорию массового обслуживания", параграф 1.1
такой сойдёт?

[--mS--]

Вы меня спрашиваете? Я его Вам выше и советовала.

[vlad_light]

А можете посоветовать какой-то учебник (желательно, для военных), где приводятся задачи с решениями на эту тему?

Цитата:

Вам нужно почитать учебник. Любой, где было бы что-нибудь о процессе Пуассона. Или тот, на который ориентированы задачки - откуда-то ж они берутся.

Задачи берутся из домашнего задания: на парах прочитали теорию, домой дали задачи. Теория состояла из одной теоремы (вывода эксп. распределения для процесса Пуассона), а решать задачи так и не научили:(

[--mS--]

Так что же Вы тут голову морочите? "Знаю, не знаю, предполагаю" и т.д., когда Вам доказали нужное утверждение? Какое распределение имеет время ожидания первого события потока? Время от первого до второго? Зависимы они?

[vlad_light]

Давайте я лучше приведу здесь то, что нам написали.

(Оффтоп)

1. Пусть $N_t$ - число запросов на $[0,t)$. И выполнены условия:
а) события, связанные с появлением запросов на интервалах, которые не пересекаются, являются независимыми;
б) распределение числа запросов в интервале $[t,t+h)$ зависит только от $h$;
в) вероятность того, что на интервале $[t,t+h)$ появится хотя бы 1 запрос равна $\alpha h+o(h)$;
г) ---||--- больше чем 1 запрос -- $o(h)$;
д) в начальный момент нет запросов.
Тогда величина $N_t\sim \Pi (\alpha t)$.

Дальше я пользуюсь тем, что $P([0,t) - \text {не будет запросов})=e^{-\alpha t}$.
Пусть $T_1$ - время ожидания до первого запроса. Тогда

$$P(T_1\geq t)=P([0,t) - \text {н.б.з.})=e^{-\alpha t}\Rightarrow P(T_1<t)=1-e^{-\alpha t}\Rightarrow T_1\sim Exp(\alpha)$$

Это и будет ответом на Ваш первый вопрос. Дальше,

$$P(T_2\notin [a,a+t)|T_1=a)=\frac{P([a,a+t) -\text {н.б.з.}\bigcap T_1=a)}{P(T_1=a)}=$$

$$=\frac{P((\{a\}\bigcup (a,a+t) -\text {н.б.з.})\bigcap T_1=a)}{P(T_1=a)}=\frac{P((\{a\} - \text {н.б.з}\bigcap T_1=a)\bigcup ((a,a+t) -\text {н.б.з.}\bigcap T_1=a)}{P(T_1=a)}=$$

$$=\frac{P((a,a+t) -\text {н.б.з.}\bigcap T_1=a)}{P(T_1=a)}=\frac{P((a,a+h) -\text {н.б.з.})P(T_1=a)}{P(T_1=a)}=P((a,a+t) -\text {н.б.з.})=$$

$$=P((0,t) -\text {н.б.з.})=P([0,t) -\text {н.б.з.})=P(T_1\geq t)\Rightarrow F_{T_2}=F_{T_1}=1-e^{-\alpha t}$$

Таким образом, эти с.в. будут НОР с показательным распределением с параметром $\alpha$. Я правильно ответил на Ваши вопросы?

[--mS--]

Ну, независимость Вы тут не показали никак, но в литературе выше все эти свойства доказаны. Надеюсь, распределение момента третьего по счёту события потока теперь назвать можете, и найти вероятность одной из двух независимых величин с этим распределением быть меньше другой тоже можете.

Можно было, кстати, его искать распределение момента третьего события потока и непосредственно: событие $\{T_3 \geqslant x\}$ записать в терминах $N_x$ и найти его вероятность. Этот путь хорош как раз тогда, когда не даны заранее никакие свойства пуассоновского потока.