Состояние с нулевой энергией связи

[Quant]

Допустим имеется потенциал $U(x)$, причем

$$ \lim_{x \to -\infty} U(x) = U_{-} $$

$$ \lim_{x \to +\infty} U(x) =U_{+} $$

Пусть $U_{+} > U_{-}$. Возможно ли состояние дискретного спектра с энергией $E=U_{-}$? Интуитивно кажется, что нет, но как строго это показать -- непонятно. Прошу помочь...

[mihiv]

Состояния дискретного спектра возможны не всегда, например, их не будет,если $U(x)$-монотонно возрастающая функция.

Если же $U(x)$ имеет вид "потенциальной ямы",такой,что $U_{\min }<U_-$,то состояния дискретного спектра возможны.

Предположим система имеет несколько дискретных уровней энергии, меньших $U_-$.Будем плавно уменьшать глубину ямы, уровни энергии при этом будут повышаться и самый верхний из них может быть сделан сколь угодно близким к $U_-$.

Таким образом, для определенных видов потенциала $U(x)$, уровень энергии дискретного спектра может быть как угодно близок к $U_-$.

[Munin]

mihiv в сообщении #629821 писал(а):

...самый верхний из них может быть сделан сколь угодно близким к $U_-$.

Но может ли он быть сделан в точности равным $U_{-}$?

[ewert]

Quant в сообщении #629141 писал(а):

Возможно ли состояние дискретного спектра с энергией $E=U_{-}$? Интуитивно кажется, что нет, но как строго это показать -- непонятно.

Возможно. Берём волновую функцию $\varphi(x)=\frac1{x+1}$ на отрицательной полуоси; ей при нулевом уровне энергии отвечает потенциал $U(x)=\frac2{(x+1)^2}$, стремящийся тоже к нулю на минус бесконечности. Затем продолжаем этот потенциал на правую ось, скажем, минус единицей до той точки, в которой функция $\varphi(x)$ уже загибается вниз. Наконец, продолжаем потенциал до плюс бесконечности подходящей положительной константой -- такой, которая экспоненциально гасит на бесконечности $\varphi(x)$.

Вот если бы $U(x)$ подходило бы к своему предельному значению снизу, а не сверху, то связанного состояния на этом уровне быть действительно не могло бы.

mihiv в сообщении #629821 писал(а):

Таким образом, для определенных видов потенциала $U(x)$, уровень энергии дискретного спектра может быть как угодно близок к $U_-$.

Зачем же именно таким-то. Известно же, что для достаточно медленно убывающего на бесконечности потенциала (например, для кулоновского) количество связанных состояний бесконечно; соответственно, и верхняя граница дискретного спектра совпадает с нижней границей непрерывного.

[Munin]

ewert в сообщении #629937 писал(а):

верхняя граница дискретного спектра совпадает с нижней границей непрерывного.

А ещё известно, что супремум не всегда максимум. Впрочем, ваша конструкция убедительна.

[ewert]

Вот только вот в этом:

ewert в сообщении #629937 писал(а):

Вот если бы $U(x)$ подходило бы к своему предельному значению снизу, а не сверху, то связанного состояния на этом уровне быть действительно не могло бы.

-- я как-то потерял уверенность. Это достаточно очевидно, если потенциал просто всюду неположителен (подсознательно я именно это и имел в виду, да зазевался). А вот если он неположителен лишь на всех достаточно больших иксах -- чего-то вот засомневался; скорее всего, тогда это утверждение тоже неверно.