Прошу проверить. Не срочно. Верхний и нижний пределы,inf,sup

[TamaGOch]

Задание: Найти $\inf x_n$, $\sup x_n$, верхний и нижний пределы последовательности $x_n=3+\frac{n}{n+1}\cdot\sin{\frac{\pi n}{2}}$

Мои мысли: посмотрим поведение синуса при $n=1,2,3...$
$\sin{\frac{\pi}{2}}=1$

$\sin{\pi}=0$

$\sin{\frac{3\pi}{2}}=-1$

$\sin{2\pi}=0$

$\sin{\frac{5\pi}{2}}=1$

$\sin{3\pi}=0$

$\sin{\frac{7\pi}{2}}=-1$

Наиб.значение синуса тут $1$, при $n$ кратном 5, значит при нём достигается supremum:

(вот тут незнаю, как записать его) $\sup x_n=3+\frac{5n}{5n+1}\cdot\sin{\frac{5\pi n}{2}}=3+\frac{5}{5+\frac{1}{n}}\cdot1=3+1=4$

аналогично при $n=4n-1$ (3,7,11...)
$\inf x_n=3+\frac{4n-1}{4n}\cdot\sin{\frac{(4n-1)\pi}{2}}=3+\frac{4-\frac{1}{n}}{4}\cdot(-1)=3-1=2$

Как искать верхний и нижний пределы? Или же inf и sup это и есть нижний и верхний предел? Тогда зачем в задании так расписали? Как пояснение (но почему тогда не в скобках?) или запутать?

[gris]

Есть максимум и минимум, верхняя и нижняя точные грани, верхний и нижний пределы. И, вообще говоря, это разные штуки, хотя могут и совпадать.
Кстати, синус половинки пи Вы нашли неправильно.

[TamaGOch]

gris как найти верхний и нижний предел этой последовательности?
можно ли исходя из того, что $-1\leqslant\sin\alpha\leqslant1$
тогда $\overline{\lim} 3+\frac{n}{n+1}\cdot\sin{\frac{\pi n}{2}}=3+1=4$
а нижний предел равен $3-1=2$ но может ли частичный предел совпадать с точной гранью?

-- 12.10.2012, 08:36 --

grisблин...точно, единице равен, но тогда верхний и нижний пределы будут совпадать с supremum и infinum ?

[gris]

Если у последовательности есть максимальный член, то супремум, конечно, совпадает с его значением. А если нет максимума? Тогда, если последовательность ограничена, то супремум существует и ему придётся совпасть с верхним пределом.
А с нижними делами может по другому обстоять. Например:
$3; 0; 1.9; 0, 1.99; 0; 1.999;... \text { Тут }\sup=3; \overline {\lim}=2; \inf=0; \underline {\lim}=0;$

[TamaGOch]

grisспасибо, т.е. если у последовательности есть точная верхняя или нижняя грань, то она точно совпадает соответственно с верхним / нижним пределом, правильно понял?

[gris]

Нет. Например, у последовательности верхний предел меньше максимального значения. Но у вашей, вероятно, нет максимума и минимума. Проверьте.
Разберитесь в различии этих понятий на простых примерах.
Вашу последовательность можно разбить на три (в зависимости от значения синуса) и поанализировать их по отдельности. А собственно Вы это и сделали. Верхний и нижний пределы нашли правильно. Из частичных там есть ещё один посередине. Теперь докажите, что это супремум и инфимум. В принципе тоже следует из ограниченности, но не собственно синуса, а добавки к тройке. Представьте, что там будет дробь $\dfrac {n+1}{n}$. И всё уже не так.
Напишите поточнее, чтобы не было придирок. Ответы правильные.

[TamaGOch]

gris спасибо