Электрическое поле в диэлектрике. Проверьте задачу

[GlazkovD]

Заранее извиняюсь перед администрацией, за то что без тега math
Не смог скомбинировать греческие символы и интеграл.

Кому не лень Проверьте задачу.
Числовые данные не привожу для удобства.

Задача
Металлический шар R=0.02м с зарядом q=8,1*10^-9 Кл
окружен вплотную прилегающим к нему слоем диэлектрика \varepsilon=3
с внешним радиусом a=0,5м.
Найти поверхностную плотность связанных зарядов на обеих сторонах диэлектрика.

МОЕ РЕШЕНИЕ
Найдем напряженность электрического поля на внутренней стороне диэлектрика.
На внутренней поверхности диэлектрика напряженность электрического
поля не "искажается" диэлектриком т.к вектор напряженности еще
не "вошел в диэлектрик". Здесь он находится на границе раздела,
между металлической сферой и внутренней стороной диэлектрика.

Согласно теореме гаусса(Замкнутой поверхностью будет являться тоже сфера)



Т.к нормаль к поверхности металлического шара, по направлению, совпадает с вектором напряженности, то En=E(r)- функция напряженности.


1) Найдем поверхностную плотность связанных зарядов на внутренней поверхности диэлектрика.

Поверхностная плотность связанных зарядов равна модулю вектора поляризации.


2) Найдем поверхностную плотность связанных зарядов на внешней стороне диэлектрика.

Внутри диэлектрика поле претерпевает существенные изменения.
Для описание поля в диэлектриках применяют вектор электрического смещения D.

Согласно теореме Гаусса для вектора электрического смещения:
Поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных зарядов.

Суммой свободных зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности (вешней стороны диэлектрика) является заряд металлической сферы q.

Тогда

То Напряженность поля внутри диэлектрика(результирующая), в том числе и на внешнем слое.


r- расстояние от центра металлической сферы до внешнего поверхностного слоя диэлектрика.
Поверхностная плотность связанных зарядов на внешнем слое будет равна модулю вектора поляризации, и будет найдена аналогично внутренней поверхности, т.к
Напряженность на внешнем слое диэлектрика уже есть.

[Хет Зиф]

GlazkovD
Не увидел где поверхностная плотность заряда на внешней поверхности диэлектрика. А вообщем решаете правильно, но тут можно не писать всякие интегралы и законы Гаусса. Это задачка школьная и решайте ее по школьному и не ошибетесь.

[GlazkovD]

Извиняюсь.Забыл расписать внешний слой.
На внешней поверхности, плотность заряда расписывается подобным образом, что и на внутренней.

Выше была
Найтеда функция напряженности.


в диэлектрике как функция расстояния от центра металической сферы.
r в ней удволетворяет условию r>Rметалического шара
r<=(Rметалического шара + a(внешний радиус диэлектрика)

Если в функцию напряженности вместо r поставить (R+a) то мы получим напряженность на поверхности диэлектрика.
А плотность связанных зарядов будет равна модулю вектора поляризации
P=(\varepsilon -1) \varepsilon 0 E

[GlazkovD]

Вопрос еще.
Правильно ли я нашел функцию напряженности внутри диэлектрика
и плотность связанных зарядов на внешней стороне диэлектрика.

[Хет Зиф]

GlazkovD
Пока что поверхностную плотность я так и не увидел. Выражение типа $\sigma _{2}$ ???.

А функцию напряженнсти внутри диэлектрика $E=\frac{q}{4\pi e e_{0}r^2}$ Вы нашли правильно.

[GlazkovD]

Извините.
Совсем крыша поехала.
Вот конечное выражение.

$\sigma$2 = ($\varepsilon$ -1)*$\varepsilon$0*q/4*$\pi$*$\varepsilon$0*$\varepsilon$*(R+a)^2

Если сократить на $\varepsilon$0 то мой конечный ответ
$\sigma$2 = ($\varepsilon$ -1)*q/4*$\pi$*$\varepsilon$*(R+a)^2
где R- радиус металической сферы. a- внешний радиус слоя диэлектрика.

Проверьте если не трудно

[Хет Зиф]

GlazkovD
Посчитайте суммарный заряд диэлеектрика. Он должен быть равен нулю. Помоему у вас ошибка в определении $\sigma _{2}$.

[GlazkovD]

Не могу понять в чем ошибка.

Насчет связанных зарядов:
Иродов. "Электромагнетизм".

Таким образом, если в произвольное электрическое
поле поместить однородный изотропный диэлектрик,
какой угодно формы, можно быть уверенным, что при
поляризации появятся только поверхностные связанные заряды,
объемные же избыточные связанные заряды во всех точках
такого диэлектрика будут равны нулю.

По моему наводятся только поверхностные заряды,
величина плотности которых, зависит от S поверхности
и результирующего вектора E в данной точке поверхности.

Пока что ошибку свою найти не могу.
Если знаете, пожалуйста подскажите что там не так
с этим $\sigma$2

Или вы про знак заряда $\sigma$2 ?
Он положителен т.к результирующий вектор E выходит из диэлектрика.

[Хет Зиф]

GlazkovD
$\sigma _{2}=\frac{( e -1)q}{4\pi (a+R)^2}$

[GlazkovD]

ХетЗиф
Извиняюсь, отсуствие $\varepsilon$ в знаменателе вашего выражения аргументируется
тем что "мы находимся" на поверхности, а там уже вектор электрического смещения
D будет равен просто $\varepsilon$0E.
Т.е получается "обычная напряженность".
$\varepsilon$0*E*4*$\pi$*(r+a)^2=q металического шара
откуда E=q/4*$\pi$(R+a)^2$\varepsilon$0

А далее просто подстановка напряженности и получаем
P=($\varepsilon$-1)*$\varepsilon0$*q/4*$\pi$(R+a)^2$\varepsilon$0
И сокращая на $\varepsilon$0 получаем ваше выражение.
P=($\varepsilon$-1)*q/4*$\pi$(R+a)^2

Вроде бы так ?

[Хет Зиф]

GlazkovD
Так вам что нужно найти поверхностную плотность заряда. Или вектор поляризации диэлектрика?

[Fgolm]

Поверхностная плотность заряда равна нормальной компоненте вектора поляризации (т.к. диэлектрик однородный).
GlazkovD, суммарный поверхностный заряд диэлектрика должен быть равен нулю (как писал Хет Зиф):
$\oint\limits_{S_1 } {\sigma _1 dS + } \oint\limits_{S_2 } {\sigma _2 dS} = 0$

[GlazkovD]

Хет Зиф
Нужно найти поверхностную плотность связанных зарядов на внешней стороне диэлектрика.
Вас наверное смутило мое предыдущее значение с P
Это я имел ввиду что $\sigma_2$=P
---------------------------------------
Хет Зиф ; Fgolm
$\oint\limits_{S_1 } {\sigma _1 dS + } \oint\limits_{S_2 } {\sigma _2 dS} = 0$
Теперь понял

Исходя из $\oint\limits_{S_1 } {\sigma _1 dS + } \oint\limits_{S_2 } {\sigma _2 dS} = 0$

видно что $\varepsilon$ в знаменателе не может быть.
Хет зиф $\sigma _2$ вами была найдена правильна исходя
из того что суммарный заряд диэлектрика равен 0.

Всем большое спасибо
за помощь. Думаю что вопрос решен.

[raenkaa]

я извиняюсь,т.е. получается что сигма1=нормальной составляющей вектора поляризации на внутренней стороне диэлектрика,а сигма 2 на внешней?

[DimaM]

raenkaa в сообщении #780919 писал(а):

я извиняюсь

Это ж надо было умудриться через 6.5 лет откопать некротему...