актуарная задачка

[vlad_light]

Цитата:

Компания продает договора страхования жизни на один год. Информация о структуре покрытия приведена в таблице:

$$\begin{tabular}{c|c|c} Страховая сумма & Причина смерти & Вероятность\\ \hline 0,5 & обычная & 0,1\\ 1 & несч. случай & 0,01 \end{tabular}$$

Относительная страховая надбавка равна 20% и полисы считаются независимыми. Определить, сколько нужно продать договоров, чтоб собранная премия с вероятностью 95% покрывала суммарные выплаты.

Подскажите, как решать. Спасибо!

(Оффтоп)

Мои идеи:
Пусть $\xi $ - страховые выплаты, имеет распределение из таблички. Тогда надбавка с одного договора составляет: $0,2E\xi =0,2(0,5\cdot 0,1 + 1\cdot 0,01)=0,012$. И нужно вычислить вероятность $P(\sum\limits _{i=1}^N \xi _i < 0,012N)$. Находим

$$E\xi = 0,06; E\xi ^2=0,25\cdot 0,1+1\cdot 0,01=0,035; D\xi = 0,035-(0,06)^2=0,0314; \sigma _\xi \approx 0,1772$$

Потом $P(\sum\limits _{i=1}^N \xi _i < 0,012N)=P(\frac{\sum\limits _{i=1}^N \xi _i -0,06N}{0,1722\sqrt N}< \frac{0,012N -0,06N}{0,1722\sqrt N})=P(0<\zeta< \frac{0,012N -0,06N}{0,1722\sqrt N})$, где $\zeta \sim N(0,1)$. А дальше решаем уравнение

$$\Phi (\frac{0,012N -0,06N}{0,1722\sqrt N})-\Phi (0) = 0,95$$

только вот ответ получается 0,05, что, скорее всего, неправильно.

[--mS--]

Не очень понимаю, что есть "страховая надбавка" и правильно ли Вы её поместили, вот только зачем величину $\zeta$ ограничивать снизу нулём? Из-за чего бы ей быть положительной?

Не говоря уже о том, что равенство $\Phi(x)-\Phi(0)=0,95$ на этом свете невозможно. Массы вероятностной не хватит.

[Евгений Машеров]

Если я правильно понимаю, что "страховая надбавка" это то, на сколько страховая премия превышает матожидание выплат, то, считая число проданных договоров N достаточно большим, чтобы работала нормальная аппроксимация, надо вычислить матожидание и дисперсию выплат по одному договору, страховую премию, затем выписать матожидание, дисперсию и стандартное отклонение по N договорам и страховую премию, полученную по ним же, затем найти 95% квантиль, приравнять его премии и решить полученное уравнение относительно N.

[--mS--]

Евгений Машеров в сообщении #628986 писал(а):

Если я правильно понимаю, что "страховая надбавка" это то, на сколько страховая премия ...

А страховая премия - это что? Поневоле в такие моменты вспоминается Архипов...

[Евгений Машеров]

Цитата:

СТРАХОВОЙ ВЗНОС
Плата за страхование, которую страхователь обязан внести в соответствии с договором страхования или законом. С. в. также называется страховым платежом или страховой премией.

[--mS--]

Честно говоря, мне бы вполне хватило информации, что вместо $0,2\mathsf E\xi_1=0,012$ в решении ТС должно участвовать $1,2 \mathsf E\xi_1=0,072$

[vlad_light]

Дайте неумному сказать пару слов

Цитата:

вот только зачем величину $\zeta $ ограничивать снизу нулём

У нас $\zeta = \sum \xi _i $, а каждая $\xi _i \geq 0$. Поэтому и сумма (а значит и $\zeta $) снизу ограничена нулём. Но это только мои предположения, расскажите, как правильно?

Цитата:

Честно говоря, мне бы вполне хватило информации, что вместо $0,2\mathsf E\xi_1=0,012$ в решении ТС должно участвовать $1,2 \mathsf E\xi_1=0,072$

Т.е. если подставить -- то получится правильное решение?

[--mS--]

vlad_light в сообщении #629216 писал(а):

Поэтому и сумма (а значит и $\zeta $) снизу ограничена нулём.

Мне нравится эта логика, дайте и я попробую. Пусть $x\geqslant 7$. Тогда и $\dfrac{378x^5 - e^{613}\sqrt{3}}{15\ln(6)} \geqslant 7$. На большее фантазии не хватает, но и так неплохо выходит! А главное, тогда и стандартное нормальное распределение тоже ограничен снизу нулём, да и вообще отрицательных чисел не бывает.

[vlad_light]

Понятно, тогда снизу нужно взять $-\infty $? А в остальном по задаче всё хорошо?

[--mS--]

Ну если Вы событие правильно запишете с учётом замечаний от Евгений Машеров, и найдёте $N$, то будет правильно.