Смешанное произведение

[Limit79]

Даны три вектора, как можно убедиться, что на них можно построить параллелепипед?

Я так понимаю, что чтобы на трех векторах можно было построить параллелепипед, они должны быть не компланарными, т.е. что смешанное произведение не должно быть равно нулю, так ведь?

Смущает то, что в задании написано, что надо сначала проверить, а потом найти объем. Т.е. ищем смешанное произведение, и если оно не равно нулю, то говорим, что можно построить параллелепипед, и его объем будет равен как раз этому смешанному произведению?

[alcoholist]

ну да

если объем неориентированный, то модуль определителя

[Limit79]

alcoholist
С площадью параллелограмма поступаем аналогично? Т.е. векторное произведение должно быть не равно нулю, и соответственно векторы не должны быть коллинеарны?

[alcoholist]

разумеется

[ewert]

Limit79 в сообщении #628530 писал(а):

Смущает то, что в задании написано, что надо сначала проверить, а потом найти объем.

Вы правы, формулировка задания несколько нелепа -- действительно, надо просто посчитать объём, необходимости предварительно исследовать на компланарность нет.

Возможно, в первом пункте имелась в виду проверка линейной независимости методом Гаусса, т.е. без использования определителей. Вот часто встречающаяся формулировка того же типа другой задачи: исследовать набор векторов на линейную независимость и разложить по ним заданный вектор. Здесь первый пункт тоже излишен: надо просто попытаться разложить, и если получится однозначно -- значит, независимы.