Гомологичность треугольников. Задача

[Nikolai Moskvitin]

В этом году придумал задачу, которую сам до конца не решил:

Условие: четырёхугольник $ABCD$. Вокруг треугольников $BCD$ и $ABD$ описаны окружности, пересекающие $AD$ и $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно (соотвественно окр.1 и окр.2); окр.2 пересекает диагональ четырёхугольника $AC$ в точке $G$; $DF$ пересекает $CE$ в точке $H$; окр.1 пересекает диагональ $AC$ в точке $I$; $BE$ пересекает $AF$ в точке $K$.

Доказать или опровергнуть: треугольники $BKI$ и $DHG $гомологичны.

$\angle{FBD}=\angle{FAD} $и $\angle{CBD}=\angle{CED}$ как вписанные. Следовательно, $\angle{CED}=\angle{FAD}$. Следовательно, прямые $AF$ и $CE $параллельны. (теорема о вписанном угле, признак параллельности прямых). Т.к. $AF$ параллелен $CE$, $\angle{FAC} =\angle{ACE} $ как накрест лежащие,и $\angle{AFG}=\angle{FDG} $как вписанные=> D, H, G и С лежат на одной окружности. Углы DGH и HCD равны как вписанные так же, как и углы ECD и EBD (окр.2). Тогда $\angle{DGH}=\angle{DBJ} $ (J-пересечение прямой $BE$ и окр.2). Но $B$, $G$, $D$, $J$ лежат на окр.1, поэтому $G$,$H$,$J$ лежат на одной прямой. $\angle{IKG}=\angle{ABJ}=\angle{AGJ}$. Следовательно, отрезок $KI$ параллелен $GH$.
Поначалу это и требовалось доказать. Затем возникла гипотеза.



-- 07.10.2012, 11:13 --


В общем, треугольники не гомологичны, вопрос только, всегда или не всегда.
Вопрос открытый: всегда ли данные треугольники не гомологичны?

[Chernoknizhnik]

Объясните безграмотным: что такое гомологичные треугольники? И какое это имеет отношение (если имеет) к гомологиям топ.пространств=)?

[gris]

Это термин проективной геометрии. Теорема Дезарга и прочие штуки.
В учебнике Адамара есть подобные задачи и теория, но сейчас в школе это не входит в стандарт.