Действительно ли геометрия является универсальным языком физики?
А хрен его знает. Пока получается, надо трясти. На протяжении 20 века получалось неплохо, и очень много.
В то же время я не очень понимаю, что подразумевается под "геометрией". Насколько я знаю, в современной математике (следуя Ф. Клейну) различные геометрии изучаются как различные группы преобразований. То есть, геометрии изучаются алгебраически.
Нет. Не совсем. В современной математике разные её ветви переплелись очень плотно, так что...
Я бы сказал так. То, что геометрия рассматривается в тесной связи с группами преобразований, не означает, что она изучается алгебраически. К ней применяется алгебраический
объект, но не говорится, что к ней применяется алгебраический
метод. С методами по-разному: в одних случаях они используются характерные для геометрии, в других - характерные для алгебры.
Например:
Дьедонне в введении к своей книге "Линейная алгебра и элементарная геометрия" писал(а):
Начиная примерно с "Эрлангенской программы" Ф. Клейна стало ясно, что под этим конгламератом {речь идёт, в частности, о аналитической геометрии, тригонометрии, проективной геометрии, конформной геометрии, неевклидовой геометрии} "наук" прошедших времён скрывается одна-единственная дисциплина
линейная алгебра современной математики.
Это верно (на каком-то уровне). Но не будьте введены в заблуждение названием. Линейная алгебра - предмет чуть ли не в большей степени геометрический, чем алгебраический. По крайней мере, он состоит в применении алгебраических методов к геометрическим объектам.
У меня какая-то каша в голове, не понимаю как всё это стыкуются.
Нигде это толком не комментируется. Я в своё время пытался разобраться, но полной ясности не достиг. Вырисовывается такая картина:
I. Математика - это башня разных теорий, основанных одна на другой. В отличие от физики, она не стоит на эксперименте, а висит в воздухе, и достраивается как сверху, так и снизу ("основания математики").
II. Теория верхнего этажа может унаследовать свойства теорий нижнего этажа двумя основными способами: заимствовать предмет исследования, и заимствовать метод исследования. Возможно, есть ещё третий сорт заимствования: задач. Эти отношения редко формулируются явно, так что это мой собственный вывод. Но такими взаимосвязями переплетены все теории. Многие теории образуются "сочетанием" предмета и метода, взятых по отдельности с нижних этажей.
III. Все математические теории неформально прибегают к помощи одной из двух-трёх идей, или интуиций: идея комбинации символов, идея формы, идея движения. Наиболее чётко они воплощены в элементарных разделах, соответственно, алгебры, геометрии и анализа. С высшими разделами дело обстоит сложнее, поскольку, как я говорил, они комбинируют в себе разные черты предыдущих разделов в разных сочетаниях. Но в конечном счёте, они тоже могут относиться к одной из "ветвей" математики, наверное, на основе того, какие образы крутятся в голове у математика. Это тоже мой собственный вывод.
1) Правомерно ли считать, что именно геометрия является универсальным языком физики?
Всё, что вы тут приводили, не относится к физике, а относится к роли геометрии в математике per se.
2) Что называется современным геометрическим языком? (Что есть современная геометрия?)
Это два очень разных вопроса. Современным геометрическим языком в физике называется, видимо, геометрия римановых многообразий, расслоений, симплектических многообразий, некоторых их производных (например, в теории струн используются кэлеровы многообразия). Что есть современная геометрия - куда более обширный и не относящийся к физике вопрос, я не могу ответить.
3) Как связаны топология и геометрия? (С одной стороны, вроде бы топология - часть геометрии. С другой - такая же отличная от геометрии область, как и алгебра, например.) В частности, является ли топология геометрией с точки зрения группового подхода?
Топология - часть геометрии в широком смысле. Точнее, сама топология распадается на две очень разные части: общая топология и алгебраическая топология. Она отлична от других частей геометрии. Групповой подход в смысле Ф. Клейна в топологии не используется, зато группы используются чрезвычайно широко (собственно, без групп алгебраической топологии бы и не существовало). Топология в математике 20 века нашла применения далеко за рамками геометрии, оказалось, аналогичные черты структуры проявляют многие негеометрические объекты. Поэтому по топологии можно встретить негеометрическую литературу.