Планиметрия, 8 класс

[Профессор Снэйп]

На стороне $\mathrm{BC}$ квадрата $\mathrm{ABCD}$ расположена точка $\mathrm{M}$, а на стороне $\mathrm{CD}$ - точка $\mathrm{N}$, причём углы $\mathrm{BAM}$ и $\mathrm{MAN}$ равны. Доказать, что $\mathrm{AN} = \mathrm{BM} + \mathrm{DN}$.

Так то всё просто. Сторона квадрата пусть равна $a$ и угол $\mathrm{BAM}$ равен $\alpha$. Тогда угол $\mathrm{NAD}$ равен $\beta = \pi/2 - 2\alpha$ и

$$ \mathrm{BM} + \mathrm{DN} = a \tg \alpha + a \tg \beta = a \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + a \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \frac{a}{\cos \beta} = \mathrm{AN} $$

Но!.. Задача-то для 8 класса, а они там про синусы с косинусами вроде ничего ещё не знают. Надо как-то через подобие треугольников и прочие доступные восьмиклассникам средства. А вот как? Не получается...

-- Вс окт 07, 2012 08:45:21 --

[TOTAL]

Точка $E$ лежит на продолжении стороны $BC$, причем $BE=ND.$
Треугольник $AEM$ равнобедренный.

[Батороев]

TOTAL в сообщении #627855 писал(а):

Треугольник $AEM$ равнобедренный.

$\angle {EAB}=\angle{NAD}\ne\angle{BAM}$

-- 07 окт 2012 16:27 --

Хотя, приведенное мной не отменяет то, что треугольник равнобедренный.

-- 07 окт 2012 16:35 --

На мой взгляд, наглядней будет, если на продолжении стороны $CD$ отложить отрезок $DF=BM$. В полученном треугольнике $ANF$ из вершины $N$ опустить высоту.

[arqady]

Можно повернуть $\Delta ABM$ на $90^{\circ}$ вокруг точки $A$ так, чтобы $D$ стала образом $B$.
Если теперь $K$ является образом $M$, то треугольник $ANK$ равнобедренный.