Теорема Пэли-Винера

[godsdog]

В формуллировке поданой в книге А. И. Жукова "Метод Фурье в вычислительной математике" (стр. 27):

Для того чтобы функция $f(x)$ представлялась в виде
$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\beta}^{\beta}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\varphi(\omega)\dif\omega,$
где $\varphi\in L_2(-\beta,\beta)$, необходимо и достаточно, чтобы:
1) $f(x)$ имела интегрируемый квадрат;
2) функция $f(x)$ продолжалась на комплексную плоскость $z=x+\mathrm{i}y$ как целая аналитическая функция; при этом
$|f(z)|\leq c\mathrm{e}^{\beta|z|},$
где константа $c$ зависит от $f$. Конец теоремы.

(У Жукова в оригинале написано $|f(z)|\leq c\mathrm{e}^{\beta|y|}$, но в литературе везде фигурирует именно $\mathrm{e}^{\beta|z|}$. Хотя к моему вопросу это не относится.)

Следовательно, если периодически продолжить $\varphi(\omega)$ на $\mathbb{R}$ то её можно представить в виде ряда Фурье (формула (5) на стр. 27):
$\varphi(\omega)=\frac{\pi}{\beta}\sum_k f(\frac{k\pi}{\beta})\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x_k\omega}.$

Вопрос:

В книге утверждается, что представление $f(x)$ в виде преобразования Фурье от $\varphi(\omega)$ в теореме следует понимать в смысле сходимости по норме $L_2$ (стр. 28 второй абзац сверху), но в самой теореме об этом ничего не упоминается. Кроме того в других источниках (смотрел несколько книг и конечно же Википедию+Wikipedia) так же о сходимости по $L_2$ не упоминается. Так вот всё-таки, представление $f(x)$ в теореме в виде преобразования Фурье следует понимать как поточечное равенство или в смысле сходимости по норме $L_2$?

(Оффтоп)

Сам разобраться не могу. Не владею предметом.

[Полосин]

В общем случае поточечное равенство в последней формуле, конечно, невозможно (например, измените функцию $\varphi$ в одной точке - функция $f$ в первой формуле от этого не изменится). Если оригинал из $L_2$, то и изображение будет из $L_2$. Однако на практике сходимость может быть и лучше - все зависит от свойств исходной функции $\varphi$.
Посмотрите тему "Ряды Фурье" в любом учебнике по математическому анализу - это поможет разобраться с предметом.

[g______d]

Формула

godsdog в сообщении #627363 писал(а):

$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\beta}^{\beta}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\varphi(\omega)\dif\omega,$

в случае конечного $\beta$ верна поточечно в том смысле, что если $\varphi\in L_2$, то интеграл сходится при каждом $\omega$ и представляет собой аналитическую функцию от $\omega$ с соответствующими свойствами. В этой формуле нет никакой последовательности функций, поэтому говорить о сходимости в $L_2$ бессмысленно.

Сходимость в смысле $L_2$ возникает, если мы устремляем $\beta$ к бесконечности. Точнее, при определении преобразования Фурье в $L_2(\mathbb R)$ интеграл как раз понимается как $L_2$-предел интегралов по конечным отрезкам. Но здесь вроде бы $\beta$ никуда не стремится.

А вот формула

godsdog в сообщении #627363 писал(а):

$\varphi(\omega)=\frac{\pi}{\beta}\sum_k f(\frac{k\pi}{\beta})\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x_k\omega}.$

(если я правильно понимаю, что такое $x_k$), действительно, понимается в смысле сходимости в $L_2$ на отрезке $[-\beta;\beta]$.

[ewert]

godsdog в сообщении #627363 писал(а):

У Жукова в оригинале написано $|f(z)|\leq c\mathrm{e}^{\beta|y|}$, но в литературе везде фигурирует именно $\mathrm{e}^{\beta|z|}$.

Естественно, без допущения постоянного множителя подобного рода утверждение верным быть не может. Причём в данном случае точное значение этой константы есть $c=\int\limits_{-\beta}^{\beta}|\varphi(\omega)|\,d\omega$.

[godsdog]

Прошу прощения за долгое молчание. Немного почитал и понял, что вопрос поставил некорректно, да ещё и с опечатками.

С вашей помощью, вроде, разобрался. Ниже привожу свою задачу целиком и мои размышления. Если увидите баг в логической цепи, то укажите мне его пожалуйста. Буду очень благодарен.

(Оффтоп)

Слабо верю, что кто-то всё это будет читать, ну да фиг с ним.

У меня есть некоторая функция $f_{\{\alpha\}}(x)$, где $\{\alpha\}$ есть набор параметров. При любых параметрах функция может быть аналитически продолжена на всю комплексную плоскость и кроме того есть функцией экспоненциального вида:

$|f_{\{\alpha\}}(z)|\leq c\mathrm{e}^{\beta|z|},$

где и $\beta$ и постоянная $c$ зависят от $\{\alpha\}$, но это не суть важно. На параметры накладывается дополнительное ограничение, согласно которому $f_{\{\alpha\}}(x)$ должна принадлежать $L_2$. При таких условиях функция $f_{\{\alpha\}}(x)$ удовлетворяет условия теоремы Пэли-Винера.

(Оффтоп)

Моя $f(x)$:

$f(x)=\frac{J_\mu(ax)J_\nu(bx)}{\left(\frac12ax\right)^\mu\left(\frac12bx\right)^\nu}x^{M}$

где

$x,a,b,\mu,\nu\in\mathbb{R},\quad a,b>0,\quad M\in\mathbb{N}^0.$

$J_{\mu,\nu}(x)$ есть функции Бесселя первого рода.
Простой анализ показывает, что функция $f(x)$ удовлетворяет условия теоремы Пэли-Винера при следующих условиях на параметры:

$\left. \begin{array}{l} \ds\mu,\nu>-\frac{1}{2},\\ \ds\mu+\nu>M-\frac{1}{2}. \end{array} \right\}$

При этих условиях $\beta=a+b$.

Моя задача найти условия, при которых можно записать равенство

$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f_{\{\alpha\}}(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}x =\gamma\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}f_{\{\alpha\}}(\gamma n)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\gamma\omega n},\quad\quad\gamma=\frac{\pi}{\beta}.$

Я могу доказать это равенство при $f_{\{\alpha\}}(x)\in L_1$ безотносительно к конкретному виду самой функции, а при $f_{\{\alpha\}}(x)\in L_2$ доказать тоже самое не могу. Хотя вполне возможно, что при последнем условии исследуемое равенство записать нельзя.

Мои размышления для случая $f_{\{\alpha\}}(x)\in L_2$. С одной стороны согласно теоремы Пэли-Винера существует такая $\varphi(\omega)\in L_2([-\beta,\beta])$, что

$f_{\{\alpha\}}(x)=\int_{-\beta}^{\beta}\varphi(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}x.$

С другой стороны по теореме Планшереля для $\varphi(\omega)$ как функции из $L_2(\mathbb{R})$ можем записать

$\varphi(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f_{\{\alpha\}}(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}x,$

где сходимость понимается в смысле $L_2$. Кроме того понятно, что $\varphi(\omega)\in L_1$. В таком случае о $f_{\{\alpha\}}(x)$ полученной как преобразование Фурье от $\varphi(\omega)$ известно, что это равномерно непрерывная на всей действительной оси, ограниченная и стремящаяся к нулю при $x\to\infty$ функция. Что и без того известно. Далее свойство преобразования Ф. в класе $L_1$ говорит, что если $f_{\{\alpha\}}(x)\in L_1$, то в приведённом выше равенстве сходимость интеграла есть поточечная и само равенство имеет место почти всюду. Кроме того, если $f_{\{\alpha\}}(x)$ непрерывна (мой случай), то последнее равенство имеет место всюду.

(Оффтоп)

Для моей конкретной задачи я хотел бы избежать требования принадлежность $f(x)$ к $L_1$ и ограничится принадлежностью к $L_2$.

Теперь надо найти условия, при которых $\varphi(\omega)$ продолженная периодически на всю числовую ось равна своему ряду Фурье. Мы знаем, что если $f_{\{\alpha\}}(x)\in L_1$ то $\varphi(\omega)$ непрерывна на $[-\beta,\beta]$. Имеет место следующее утверджение (Википедия, Ряд Фурье): Функция, непрерывная в точке $x_0$, может иметь расходящийся в ней ряд Фурье. Однако, если он сходится, то непременно к $f(x_0)$.

Вывод: для $f_{\{\alpha\}}(x)\in L_1$ имеет место равенство преобразования Фурье и ряда Фурье (главное исследуемое равенство, приведённое выше) при условии сходимости ряда Фурье за исключением может быть точек $\pm\beta$.

(Оффтоп)

Для моей конкретной $f(x)$ если параметры таковы, что $f(x)\in L_1$, то ряд Ф. для $\varphi(\omega)$ сходится.

Кроме того существует Carleson's theorem утверждающая наличие поточечной сходимости почти всюду ряда Фурье для функции из $L^p$ где $p\in(1,\infty)$. То-есть ряд Ф. для $\varphi(\omega)$ будет поточечно сходится почти всюду. (Правда, сама $\varphi(\omega)$ будет равна соответствующему интегралу Ф. лишь по норме $L_2$.) Теорема Карлесона даёт основания полагать, что моё исследуемое равенство преобразования Ф. и ряда Ф. имеет место и в случае $f_{\{\alpha\}}(x)\in L_2$, но доказать это на основании общих теорем не получается. Может я что-то упустил?

(Оффтоп)

Конечно же я попробовал исследовать мою $f(x)$ с параметрами, при которых она принадлежит $L_2$ и не принадлежит $L_1$ и конкретно для неё доказать справедливость нужной мне формулы, но успехом моё исследование не увенчалось. Но в принципе сойдёт и то, что формула доказана для $f(x)\in L_1$.

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Полосин и g______d правы: В интеграле

godsdog в сообщении #627363 писал(а):

$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\beta}^{\beta}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\varphi(\omega)\mathrm{d}\omega$

g______d в сообщении #627845 писал(а):

нет никакой последовательности функций, поэтому говорить о сходимости в $L_2$ бессмысленно.

Но вот этого

g______d в сообщении #627845 писал(а):

Формула

godsdog в сообщении #627363 писал(а):

$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\beta}^{\beta}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\varphi(\omega)\mathrm{d}\omega,$

в случае конечного $\beta$ верна поточечно в том смысле, что если $\varphi\in L_2$, то интеграл сходится при каждом $\omega$ и представляет собой аналитическую функцию от $\omega$ с соответствующими свойствами.

я не понял. Может имелось в виду не $\omega$ а $x$?

g______d в сообщении #627845 писал(а):

А вот формула

godsdog в сообщении #627363 писал(а):

$\varphi(\omega)=\frac{\pi}{\beta}\sum_k f(\frac{k\pi}{\beta})\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{k\pi}{\beta}\omega}.$

действительно, понимается в смысле сходимости в $L_2$ на отрезке $[-\beta;\beta]$.

Это следствие того, что линейное пространство, построенное на базисе из $\sin\big(\frac{k\pi}{\beta}\omega\big)$ и $\cos\big(\frac{k\pi}{\beta}\omega\big)$ плотно в $L_2(-\beta,\beta)$?

ewert в сообщении #627924 писал(а):

$c=\int\limits_{-\beta}^{\beta}|\varphi(\omega)|\,d\omega$.

В литературе не нашёл, а сам доказать с наскока не смог. Не поделитесь, как вы это получили?

[ewert]

godsdog в сообщении #630162 писал(а):

В литературе не нашёл, а сам доказать с наскока не смог. Не поделитесь, как вы это получили?

Тупо $|f(z)|\leqslant\frac{1}{2\pi}\int_{-\beta}^{\beta}\mathrm{e}^{|\omega z|}|\varphi(\omega)|\,d\omega\leqslant\frac{1}{2\pi}\cdot\mathrm{e}^{\beta|z|}\int_{-\beta}^{\beta}|\varphi(\omega)|\,d\omega.$ И эта оценка точна, т.к. равенство достигается на $z=i|z|$ и $\varphi(\omega)=\delta(\omega+\beta)$ (дельта-функций, конечно, не бывает, но к ним можно сколь угодно точно приблизиться). А два пи я тогда просто забыл написать.

[godsdog]

ewert
Один момент, по-моему, остался за кадром. Нам не достаточно как угодно близко приблизится к дельта функции. Нам необходимо, чтобы приближение мы могли сделать функциями отличными от 0 на $[-\beta,\beta]$, преобразование Фурье которых есть функции экспоненциального вида.

Вполне возможно, что подпространство функций из $L_2([-\beta,\beta])$ с преобразованием Фурье экспоненциального вида плотно в $L_2([-\beta,\beta])$, но не очевидно (по крайней мере для меня).

[petrlarionov]

полосин
а какой вы предпочитаете мел ?