Задача по функциональному анализу.

[3.14]

Здравствуйте, участники форума. Помагите разобраться с задачей.
Компактно ли в пространстве $\mathrm{C}[0,1]$ множество $K$ всех таких функций $f$, что $t^4 \leq f(t) \leq t^3$ при всех t?
Во-первых, я думаю, что множество наше компактно. Для доказательства этого я хочу воспользоваться теоремой Асколи-Арцела. Нужно доказать замкнутость, ограниченность и равностепенную непрерывность нашего множества $K$. Замкнутость и ограниченность, вроде, я доказал, а вот про равностепенную непрерывность не получается.
Мне нужно показать, что $ \forall \varepsilon > 0$ $\exists \delta > 0 : |t - s| < \delta \Rightarrow |f(t) - f(s)| < \varepsilon$ $\forall f \in K$. Я знаю, что все наши функции раномерно непрерывны на $[0,1]$. Я хотел это использовать, но если я напишу условие равномерной непрерывности для функции, то для каждой функции я получу свое дельта. Нам нужно общее дельта. Хотелось бы какое-нибудь минимальное дельта такое найти. Не получается.

[ewert]

3.14 в сообщении #627668 писал(а):

Замкнутость и ограниченность, вроде, я доказал, а вот про равностепенную непрерывность не получается.

И не получится. Производные же откровенно ничем не ограничены (если, конечно, есть производные; но этого ведь и достаточно). Вот и сочиняйте контрпример.

[3.14]

То есть данное множество не компакт. Жаль) Что-то я насчет контрпримера и не думал. Мне контрпример к равностепенной непрерывности нужно придумать?

[ewert]

3.14 в сообщении #627701 писал(а):

Мне контрпример к равностепенной непрерывности нужно придумать?

Да. А для этого достаточно сочинить последовательность функций, зажатых между чем положено и при этом с неограниченными производными. Ну это достаточно очевидно.

[3.14]

Извините...Что-то то я не могу понять. Как равностепенная непрерывность связана с производной? И почему нужно именно последовательность, а не одну функцию?

[ewert]

3.14 в сообщении #627714 писал(а):

Как равностепенная непрерывность связана с производной?

Двусторонне -- никак, естественно. Однако односторонне связано очевидным образом: если производные по данному множеству функций и на всей общей области их определения не ограниченны, то ни о какой равностепенной непрерывности, разумеется, не может быть и речи. Вполне возможно, что в вашем курсе подобной теоремки и не было. Ну так и докажите по вашему поводу. Ведь что такое равностепенная непрерывность?... -- это когда при небольших изменениях аргумента все значения всех функций из данного множества тех функций, решительно всех хором меняются не слишком сильно. Ну это просто очевидно невозможно, если производная (если уж она есть) неограниченна.

3.14 в сообщении #627714 писал(а):

И почему нужно именно последовательность, а не одну функцию?

Потому. Что попросту понятие "равностепенности" имеет смысл лишь на некотором подмножестве (например, на множестве элементов некоторой последовательности), и не имеет ни малейшего смысла на отдельно взятой функции.

[3.14]

Что-то не получается придумать такую последовательность.. можно подсказку)

[vlad_light]

Цитата:

А для этого достаточно сочинить последовательность функций, зажатых между чем положено и при этом с неограниченными производными. Ну это достаточно очевидно.

Ну, кому-как Попробую объяснить.
Берём листик и рисуем в крупном масштабе два графика: $t^4$ и $t^3, t \in [0,1]$. А дальше рисуем следующую функцию: начинаем с точки $(0,0)$ и плавно-плавно ведём линию, а потом БАЦ (!) и эта линия резко скачет вверх (не важно, насколько высоко (хоть на 0,01 деление), а важно -- насколько резко) и только она вот-вот начала подниматься -- сразу, с такой же скоростью (читай, резкостью) падает вниз и уже там как-то плавно доходит до точки $(1,1)$. Важно, что всё это действие происходит между нашими графиками. А теперь постройте последовательность функций, сходящихся к той, которую Вы нарисовали, вспомните, что такое производная и посчитайте её в точке, где с функцией творились катаклизмы.
Возможно, я написал очередной бред, но иногда бывает, что даже из полнейшего бреда можно извлечь пользу.

[Полосин]

Можно и аналитически: $f_n(t)=t^4\cos^2(nt)+t^3\sin^2(nt)$.

[RIP]

ewert в сообщении #627722 писал(а):

Ведь что такое равностепенная непрерывность?... -- это когда при небольших изменениях аргумента все значения всех функций из данного множества тех функций, решительно всех хором меняются не слишком сильно. Ну это просто очевидно невозможно, если производная (если уж она есть) неограниченна.

Это не только не очевидно, но и неверно. Ведь для множества из одной-единственной функции равностепенная непрерывность сводится к равномерной непрерывности, то есть просто к непрерывности, а из непрерывности (и дифференцируемости) не следует ограниченность производной (например, в искомом множестве есть всюду дифференцируемая функция с неограниченной производной $f(t)=\dfrac{t^3+t^4}2+\dfrac{t^3-t^4}2\sin\dfrac1{t^{10}}$). Связь с производными — только в другую сторону: если есть равномерная ограниченность производных, то есть равностепенная непрерывность.

[Oleg Zubelevich]

То, что пишет ewert конечно неверно, но только по другим причинам. Множество функций может быть равностепенно непрерывно на отрезке, например таким способом: $|f(x')-f(x'')|\le |x'-x''|^{1/2}$ и это ни к чему не обязывает производные этих функций.
Однако не стоит забывать, что по условию функции определены на отрезке, и потому это (и то, что ниже) :

RIP в сообщении #627844 писал(а):

Ведь для множества из одной-единственной функции равностепенная непрерывность сводится к равномерной непрерывности, то есть просто к непрерывности

тоже неверно

[ewert]

vlad_light в сообщении #627810 писал(а):

и эта линия резко скачет вверх (не важно, насколько высоко (хоть на 0,01 деление), а важно -- насколько резко)

Нет, как раз важно -- именно насколько высоко.

Простейший контрпример: $f_{n}(x)=x^3$ при $x\leqslant\frac12-\frac1n$, $f_{n}(x)=x^4$ при $x\geqslant\frac12+\frac1n$ и неважно как на промежуточном отрезке. Или действительно через натянутые синусоиды, но тогда чуть больше слов в формальное обоснование понадобится. Для такой же последовательности ничего даже и доказывать, в сущности, не нужно: она не может быть предкомпактной попросту потому, что поточечно сходится к разрывной.

[vlad_light]

Цитата:

Нет, как раз важно -- именно насколько высоко.

Понятно, что важно. Я имел ввиду, что не обязательно высоко на 1000 делений, а так, чтоб поместилось между $t^4$ и $t^3$.

Цитата:

сводится к равномерной непрерывности, то есть просто к непрерывности

А почему неверно? Ведь по т. КантОра у нас это одинаковые вещи...

[3.14]

Ухх..Что-то я не совсем понимаю..Вот пример : $f_n (t) = t^4 \cos^2(nt) + t^3\sin^2(nt)$ - он является контпримером? То что эта последовательность лежит в нашем множестве, я думаю, мне удастся доказать. Берем производную :
$f'_n(t) = 4t^3\cos^2(nt) - 2 n t^4 \cos(nt) \sin(nt) + 3 t^2 \sin^2(nt) + 2 n t^3 \sin(nt) \cos(nt) $ . Если я правильно понимаю, то производная является неограниченной из-за выскакивающего там $n$.
Я не совсем понимаю почему в примере ewert последовательность сходится к разрывной поточечно. То есть как-то странно там получается : $f_n(t) \rightarrow x^3$ при $x \leqslant \frac12$ и $f_n(t) \rightarrow x^4$ при $x \geqslant \frac12$

[vlad_light]

У г-на ewert'а написано $f_n(t)\to t^3, t\leq \frac 12 -\frac 1n; f_n(t)\to t^4, t\geq \frac 12+\frac 1n$, что в какой-то мере эквивалентно $f_n(t)\to t^3, t< \frac 12; f_n(t)\to t^4, t> \frac 12$. Вот и получается, что функция $f(t)$ такая, что $f_n(t)\to f(t), n\to \infty $ испытывает разрыв в точке $\frac 12$, поскольку $\frac {1}{16}=f(\frac 12 ^-)\neq f(\frac 12 ^+)=\frac 18$