Площадь поверхности

[Limit79]

Вычислить площадь поверхности $x^{2}+z^{2}=4$, вырезанной поверхностями $ y=0,x=2y$.

Я решал так:

$S=\iint_{\sigma }^{ }ds = \iint_{\sigma _{xy}}^{ } \sqrt{1+(f_{x}^{'})^{2} +(f_{y}^{'})^2 } dxdy$

$x^{2}+z^{2}=4$, т.е. $z=\pm \sqrt{4-x^2}$

$f_{x}^{'} = \mp \frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$

$f_{y}^{'} = 0}$

Проекция данной области на плоскость $xOy$ будет треугольник, задаваемый неравенствами:

$0 \leqslant x \leqslant 2; 0 \leqslant y \leqslant \frac{x}{2}$

Тогда искомая площадь:

$S=\int_{0}^{2} dx \int_{0}^{\frac{x}{2}} \frac{2}{\sqrt{4-x^2}} dy = 2$

Меня смущает то, что если посчитать площадь боковой поверхности по всем известной из геометрии формуле, то она получится равной $4\pi $, а у нас же по идее четверть от этой поверхности, т.е. $\pi $...


Подскажите, пожалуйста, где я не прав.

[Shtorm]

Limit79, прежде всего такой вопрос возникает:

Плоскость $x=2y$ рассекает цилиндр не только же в первом октанте, но и идёт дальше, проходя через нуль и уходит в другой октант. И хотя сказано ещё про плоскость $y=0$, но не сказано, что $y$ должны быть только положительными, а значит они могут быть и отрицательными. То есть нужно учитывать ещё фигуру, отсекаемую в другом октанте.

Второй момент: Когда Вы применили формулу

$S=\iint_{\sigma }^{ }ds = \iint_{\sigma _{xy}}^{ } \sqrt{1+(f_{x}^{'})^{2} +(f_{y}^{'})^2 } dxdy$

то Вы нашли площадь только верхней части фигуры. Итого в итоге Вы нашли одну четвёртую искомой поверхности.

И третий момент. Площадь боковой поверхности круглого цилиндра радиусом равного 2 и высотой 1 действительно получается $4\pi $. Но искомая боковая поверхность разве будет равна четверти всей боковой поверхности?

[Limit79]

Shtorm
Действительно, что-то я не подумал, что при $y<0$ будет еще один кусок. Но по идее эти два куска будут одинаковыми?

А в силу чего по формуле получилась только верхняя часть?

Насчет боковой поверхности - мне кажется, что искомая - это четверть от нее (от той, которая при $y>0$).

[Shtorm]

Limit79 в сообщении #627634 писал(а):

Shtorm
Действительно, что-то я не подумал, что при $y<0$ будет еще один кусок. Но по идее эти два куска будут одинаковыми?

Несомненно одинаковыми.

Limit79 в сообщении #627634 писал(а):

А в силу чего по формуле получилась только верхняя часть?

Это следует из вывода самой этой формулы. Гляньте в учебнике как она выводится.

Limit79 в сообщении #627634 писал(а):

Насчет боковой поверхности - мне кажется, что искомая - это четверть от нее (от той, которая при $y>0$).

Ну, сами понимаете, слово "кажется" в математике неприменимо Мне тоже много чего казалось тут в трехмерной дифф. геометрии, но опытные математики развеяли мои домыслы. Так что давайте строго докажите или скажите, хотя бы, из чего следует.

[Limit79]

Shtorm
На самом деле я взял листок бумаги, сделал из него боковую поверхность цилиндра, разделил ее плоскостью, и потом развернул листок и прикинул площади. Из этого исходил, но понятно, что это далеко не эталон :)

То есть четверть площади поверхности я нашел правильно, да? Т.е. искомая площадь будет $2\cdot 4 = 8 $?

[Nacuott]

Дело в том, что искомая площадь не есть четверть от поверхности цилиндра радиуса два и высотой - один.

[Limit79]

Nacuott
На самом деле, я думал, что это скорее всего неверно. Просто искал способ, как хотя бы примерно можно проверить результат.

[Shtorm]

Limit79 в сообщении #627640 писал(а):

На самом деле я взял листок бумаги, сделал из него боковую поверхность цилиндра, разделил ее плоскостью, и потом развернул листок и прикинул площади. Из этого исходил, но понятно, что это далеко не эталон :)

Если Вы берёте круглый цилиндр и сечёте плоскостью под углом, то в сечении должен получиться эллипс. У Вас получился? А потом когда лист развернёте, что с этим эллипсом произойдёт? Я, честно говоря, не знаю.

Limit79 в сообщении #627640 писал(а):

То есть четверть площади поверхности я нашел правильно, да? Т.е. искомая площадь будет $2\cdot 4 = 8 $?

Да.

[Limit79]

Shtorm
В моем плохом пространственном представлении и была ошибка, я ошибся, предполагая, что в развертке сечения будет прямая линия.

Shtorm
Nacuott
Спасибо за помощь!


Забыл спросить, а в самом решении написать, что мы находим площадь поверхности, которая будет равна четверти искомой в силу симметрии?

[Shtorm]

Limit79 в сообщении #627650 писал(а):

... я ошибся, предполагая, что в развертке сечения будет прямая линия.

К моему глубокому сожалению, не могу ни подтвердить, ни опровергнуть эти Ваши слова.
Уважаемые читатели данного сообщения, помогите нам в этом вопросе!

-- Сб окт 06, 2012 19:40:34 --

Limit79 в сообщении #627650 писал(а):

Забыл спросить, а в самом решении написать, что мы находим площадь поверхности, которая будет равна четверти искомой в силу симметрии?

Вот смотрю сейчас примеры вычисления площади поверхности в Пискунове: там просто пишут "найдём половину...для этого" или "на рисунке изображена одна восьмая искомой площади, область для интегрирования для неё... и находим..." Но если Вы напишите, "в силу симметрии" ошибки-то не будет.

[Nacuott]

Limit79
Искомая поверхность равна двум.Зачем Вы множите еще на четыре?
Если цилиндр развернуть, то эллипс превратится в синусоиду-это известный факт.

[Limit79]

Nacuott
Товарищ Shtorm так сказал :) Ну по идее же он прав.

[Shtorm]

Товарищ Shtorm может ошибаться. Но пусть тогда товарищ Nacuott объяснит ошибку.

[Limit79]

Все могут ошибаться. Но очевидно же, что я точно ошибся в том, что выбрал только область, которая находится при $y>0$.

[_Ivana]

Лепите из пластилина или вырезаете из бумаги или моделируете на компьютере - что вам удобнее, и проверяете результат