Рассмотрим граф

с множеством вершин

, содержащем вершины треугольника, отмеченные точки и все точки пересечения отрезков. Легко посчитать, что

. Множеством рёбер

такого графа считаем все полученные отрезки между точками пересечения и на сторонах треугольника между отмеченными точками. Также легко посчитать, что

. Так вот, по формуле Эйлера, число граней

для плоского связного графа есть

. Следует также учесть, что в число граней для нашего треугольника входит и внешняя область по отношению к треугольнику, поэтому искомое число частиц равно:
![\[
1-|V|+|E|=1+m_1+m_2+m_3+\frac{m_1(m_2+m_3)+m_2(m_1+m_3)+m_3(m_1+m_2)}{2}
\] \[
1-|V|+|E|=1+m_1+m_2+m_3+\frac{m_1(m_2+m_3)+m_2(m_1+m_3)+m_3(m_1+m_2)}{2}
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/8/768db0eeeaf8398e60a2044e9be1d23682.png)
Для пятиугольника я думаю, Вы разберётесь.