Приближение иррациональных рациональными [Теория чисел]

[Whitaker]

Здравствуйте, уважаемые друзья!
Помогите пожалуйста разобраться.

Теорема 1. Если $\xi$ - иррациональное число и $N$ - положительное целое число, то существует рациональное число $h/k$ со знаменателем $k\leqslant N$, такое, что $\left| \xi-\frac{h}{k}\right|<\frac{1}{kN}$
Доказательство этой теоремы я прочитал и все понятно.

Так как $N\geqslant k$, из теоремы 1 вытекает
Теорема 2. Если $\xi$ - иррациональное число, то существует бесконечного много рациональных чисел $\frac{h}{k}$, таких, что $\left| \xi-\frac{h}{k}\right|<\frac{1}{k^2}$

Но вот по второй теореме возникло несколько простых вопросов:
- почему таких рациональных бесконечно много?
- рациональные числа здесь наверное все различны?

С уважением, Whitaker.

[TOTAL]

Бесконечно много потому, что иррациональное может быть приближено каким-нибудь из них с любой точностью.

[Whitaker]

Признаюсь, но ничего не понял из Вашего ответа.
Можно чуть по-точнее?

[TOTAL]

Whitaker в сообщении #627545 писал(а):

Признаюсь, но ничего не понял из Вашего ответа.

Иррациональное может быть приближено каким-нибудь из них с любой точностью. С эти согласны?

[Whitaker]

TOTAL
Лично я понял так:
Если взять $N=1$, то $\exists \frac{h_1}{k_1}: k_1\leqslant 1$ и $\left|\xi-\frac{h_1}{k_1}\right|<\frac{1}{k_1}$ (по теореме 1)
Если взять $N=2$, то $\exists \frac{h_2}{k_2}: k_2\leqslant 2$ и $\left|\xi-\frac{h_2}{k_2}\right|<\frac{1}{2k_2}$ (по теореме 1)
Если взять $N=3$, то $\exists \frac{h_3}{k_3}: k_3\leqslant 3$ и $\left|\xi-\frac{h_3}{k_3}\right|<\frac{1}{3k_3}$ (по теореме 1)
и так далее
В общем, $\left|\xi-\frac{h_i}{k_i}\right|<\frac{1}{ik_i}\leqslant\frac{1}{k_i^2}$, т.е.
$\left|\xi-\frac{h_i}{k_i}\right|<\frac{1}{k_i^2}$ для $i\geqslant 1$
Мои рассуждения верные?

[ex-math]

Сначала отвечу на второй вопрос: это неважно. Величина $\Delta=|\xi-\frac hk|$ положительна, так как $\xi$ иррационально. Следовательно, одновременно умножая $h$ и $k$ на некоторое число $n$ мы рано или поздно придем к тому, что $\frac1{(nk)^2}$ станет меньше $\Delta$. То есть вместе с каждой несократимой дробью $\frac hk$ нашему неравенству может удовлетворять лишь конечное число равных ей сократимых дробей.

Чтобы разобраться с первым вопросом рассуждайте от противного. Пусть таких чисел конечное количество. Выберем самое маленькое из соответствующих $\Delta$, которое будет тем не менее положительным. Теперь возьмем в теореме 1 число $N$ большим $\frac1{\Delta}$, и...

[TOTAL]

Whitaker в сообщении #627555 писал(а):

Мои рассуждения верные?

Из написанного непонятно, что хотите доказать. Поэтому не могу сказать, верные ли они.

[Whitaker]

ex-math в сообщении #627562 писал(а):

Чтобы разобраться с первым вопросом рассуждайте от противного. Пусть таких чисел конечное количество. Выберем самое маленькое из соответствующих $\Delta$, которое будет тем не менее положительным. Теперь возьмем в теореме 1 число $N$ большим $\frac1{\Delta}$, и...

Распишу чуть подробнее: Пусть таких дробей конечное число, т.е. $m$ штук.
$\left|\xi-\dfrac{h_i}{k_i}\right|<\dfrac{1}{k_i^2}$, где $1\leqslant i \leqslant m$
Пусть $t=\min \limits_{1\leqslant i\leqslant m}\left|\xi-\dfrac{h_i}{k_i}\right|$ и возьмем число $N>\dfrac{1}{t}$. По теореме 1 существует рациональное число $\dfrac{a}{b}$ $:b\leqslant N$ и
$\left|\xi-\dfrac{a}{b}\right|<\dfrac{1}{bN}<\dfrac{t}{b}\leqslant t$.
Таким образом, мы нашли еще минимальное. Противоречие. Значит их бесконечное число. Верно?

[TOTAL]

Теперь Вы меня убедили.

[Whitaker]

Ну с одним вопросом благодаря Вам и ex-math разобрались.
Но эта фраза мне непонятна:

ex-math в сообщении #627562 писал(а):

Сначала отвечу на второй вопрос: это неважно. Величина $\Delta=|\xi-\frac hk|$ положительна, так как $\xi$ иррационально. Следовательно, одновременно умножая $h$ и $k$ на некоторое число $n$ мы рано или поздно придем к тому, что $\frac1{(nk)^2}$ станет меньше $\Delta$. То есть вместе с каждой несократимой дробью $\frac hk$ нашему неравенству может удовлетворять лишь конечное число равных ей сократимых дробей.

Вопрос был такой: рациональные числа здесь наверное все различны?

[TOTAL]

Whitaker в сообщении #627612 писал(а):

Вопрос был такой: рациональные числа здесь наверное все различны?

Я не понимаю этого вопроса. Существует бесконечно много различных рац. чисел, удовлетворябющих неравенству. Если запишете неравенство несколько раз для одного и того же рац. числа, то не будут они все различны.

[Whitaker]

TOTAL
согласен с Вами.
Дело в том, что этот вопрос сам по себе вообще не содержателен.