ВТФ – доказательство

[shwedka]

Yarkin в сообщении #626023 писал(а):

Зачем Вы требуете доказывать неправильное высказывание?

а зачем Вы его заявляете?

Yarkin в сообщении #626023 писал(а):

$C= \pi$ означает, что два вектора расположены на одной прямой и имеют противоположные направления.

Неверно. В теореме косинусов С - это НЕ угол между векторами, идущими в вершины треугольника, а угол между сторонами треугольника. $C= \pi$ означает в точности, что три точки лежат на одной прямой. И не больше.

[migmit]

Yarkin в сообщении #625064 писал(а):

migmit в сообщении #624898 писал(а):

Yarkin в сообщении #624581 писал(а):

Целочисленные решения возможны при $C=\frac \pi 2$.

И это тоже неправильно.

Но это доказано и доказательство можно применять на практических примерах, хотя бы для $n=2.$

Нет, не доказано.

[Yarkin]

shwedka в сообщении #626029 писал(а):

Yarkin в сообщении #626023 писал(а):

Зачем Вы требуете доказывать неправильное высказывание?

а зачем Вы его заявляете?

Yarkin в сообщении #626023 писал(а):

$C= \pi$ означает, что два вектора расположены на одной прямой и имеют противоположные направления.

Неверно. В теореме косинусов С - это НЕ угол между векторами, идущими в вершины треугольника, а угол между сторонами треугольника. $C= \pi$ означает в точности, что три точки лежат на одной прямой. И не больше.

Для выражения (8) эта трактовка верна, а для исходных соотношений (1) и (2) – неверна. Там предполагаются вектора. Трансформация соотношения (1) и (2) в (8) идет за счет нарушения условий (6).

-- Ср окт 03, 2012 13:32:51 --

migmit в сообщении #626052 писал(а):

Нет, не доказано.

Согласен. Возможны означает, что их там может и не быть.

[migmit]

Yarkin в сообщении #626430 писал(а):

migmit в сообщении #626052 писал(а):

Нет, не доказано.

Согласен. Возможны означает, что их там может и не быть.

Нет. Не доказано, что других не может быть.

[shwedka]

Yarkin в сообщении #626430 писал(а):

идет за счет нарушения условий (6).

Так и должно быть. Доказательства условий (6) не приведено.
ТС по своему обыкновению плодит недоказанные утверждения.

migmit в сообщении #624022 писал(а):

Тем более, что это (6) получено из утверждения про Пифагоровы тройки, от которого вы сами выше отказались.

[shwedka]

Yarkin в сообщении #626430 писал(а):

Для выражения (8) эта трактовка верна, а для исходных соотношений (1) и (2) – неверна.

Неправда! В (1) и (2) никакого угла С попросту нет.
Напишите четко, что такое, по-Вашему, угол С в теореме косинусов.

[Yarkin]

migmit в сообщении #626433 писал(а):

Нет. Не доказано, что других не может быть.

О каких «других» Вы говорите? Пожалуйста, сформулируйте четко –какое доказательство Вы хотите, как это сделал venco.

shwedka в сообщении #626441 писал(а):

Так и должно быть. Доказательства условий (6) не приведено.

В тригонометрии я не встречал, чтобы условия (6) доказывались. Если эти условия нарушаются, то исчезает объект обсуждения и не о чем говорить.

shwedka в сообщении #626461 писал(а):

Неправда! В (1) и (2) никакого угла С попросту нет.

Правда! См. геометрическую интерпретацию комплексных чисел. Соотношения теоремы косинусов (4), появились на основании соотношения (2), что зафиксировано в обозначениях (5).

shwedka в сообщении #626461 писал(а):

что такое, по-Вашему, угол С в теореме косинусов.

У меня четко и ясно обозначено, что $ C $ - угол между векторами $x_0$ и $y_0.$

[shwedka]

Yarkin в сообщении #626784 писал(а):

В тригонометрии я не встречал, чтобы условия (6) доказывались.

И не только в тригонометрии. Это Ваше личное измышление, которое не можете доказать.

Yarkin в сообщении #626784 писал(а):

Если эти условия нарушаются, то исчезает объект обсуждения и не о чем говорить.

Совершенно верно. Говорить больше нечего.
В пургаторий. ТС не может доказать ни одного из своих утверждений.

[Yarkin]

shwedka в сообщении #626787 писал(а):

Говорить больше нечего.

Поскольку по ходу доказательства я никаких опровержений не получил, перед отправкой в пургаторий, привожу окончательное доказательство.

Теорема Ферма (уточненная). Не существует целых чисел x, y, z и n, что одновременно выполняются соотношения
$$x^n+y^n=z^n, n=2, 3, 4,…, \eqno (1)$$

Доказательство. Пусть $x_0, y_0, z_0$ - в общем случае комплексные решения уравнения Ферма (1), т.е. выполняется равенство

$$(x_0)^n+(y_0)^n=(z_0)^n, \eqno (2)$$

Представим $x_0, y_0, z_0$ в тригонометрической форме:

$$x_0=\rho_x(\cos\varphi_x+i \sin\varphi_x)$$
$$y_0=\rho_y(\cos\varphi_y+i \sin\varphi_y)$$
$$z_0=\rho_z(\cos\varphi_z+i \sin\varphi_z) \eqno (3) $$
и подставим в (2). Используя правила действия над комплексными числами (КЧ) и равенства двух КЧ, после простых преобразований, получим

$$(\rho_x)^{2n}+ (\rho_y)^{2n}-2(\rho_x)^n(\rho_y)^n \cos C=(\rho_z)^{2n}$$


$$(\rho_x)^{2n}+ (\rho_z)^{2n}-2(\rho_x)^n(\rho_z)^n \cos A=(\rho_y)^{2n}$$


$$(\rho_y)^{2n}+ (\rho_z)^{2n}-2(\rho_y)^n(\rho_z)^n \cos B=(\rho_x)^{2n}, \eqno (4) $$

- соотношения теоремы косинусов для модулей корней уравнения (1), где обозначено:

$$A=n(\varphi_x -\varphi_z), B=n(\varphi_z -\varphi_y), C=\pi-n(\varphi_x -\varphi_y) \eqno (5) $$

Для существования соотношения (2), для углов должны выполняться условия

$$0 < A < \pi, 0 < B < \pi, 0 < C < \pi, A + B + C = \pi \eqno (6)$$

Целочисленные решения возможны при $C=\frac \pi 2$ и при . $C= \pi$.
Первый случай. Подставляя $C=\frac \pi 2$ в (4), получим условие для модулей корней уравнения (1) в виде
$$(\rho_x)^{2n} + (\rho_y)^ {2n} = (\rho_z)^ {2n} \eqno (7)$$

В условиях ВТФ соотношения (2) и (7) одновременно могут выполняться только при
$$(\rho_x)^n = (\rho_y)^n = (\rho_z)^n / \sqrt2$$
.
В этом случае ВТФ доказана.
Второй случай. Подставляя $C= \pi$, получим

$$(\rho_x)^n + (\rho_y)^n = (\rho_z)^n \eqno (8)$$

При этом соотношение (2) не выполняется, следовательно, мы его не можем получить из уравнения (1) или же оно задано в виде (7). Согласно пункта 1 для такого соотношения модулей должно существовать уравнение

$$x^{n/2}+ y^{n/2}=z^{n/2} \eqno (9)$$

С корнями $x_0, y_0, z_0$, удовлетворяющих этому уравнению, т.е. для них выполняется равенство

$$(x_0)^{n/2}+( y_0)^{n/2} = (z_0)^{n/2} \eqno (10)$$

В условиях ВТФ соотношения (8) и (10) одновременно могут выполняться только при
$$(\rho_x)^{n/2} = (\rho_y)^{n\2} = (\rho_z)^{n/2} / \sqrt2$$
.
В этом случае ВТФ также доказана. ВТФ доказана.

Заключение. Вероятно, кое-кому не хочется, чтобы с ВТФ было покончено. Но ничего не поделаешь – факт на лицо. Да. доказательство страдает недостатком изложения, но со временем его подточат. А, пока все вышеизложенное можно проверять на практике. До этого доказательства такой возможности не было. Включение в условия ВТФ $ n=2$ это стало возможным. А время покажет, кто из нас прав. Тему можно закрыть в виду отсутствия нормальной дискуссии.

[shwedka]

Yarkin в сообщении #626946 писал(а):

Второй случай. Подставляя $C= \pi$, получим

$$(\rho_x)^n + (\rho_y)^n = (\rho_z)^n \eqno (8)$$

При этом соотношение (2) не выполняется,

неверно. докажите, что не выполняется.

[Belfegor]

shwedka в сообщении #626954 писал(а):

Yarkin в сообщении #626946 писал(а):

Второй случай. Подставляя $C= \pi$, получим

$$(\rho_x)^n + (\rho_y)^n = (\rho_z)^n \eqno (8)$$

При этом соотношение (2) не выполняется,

неверно. докажите, что не выполняется.

Уважаемая shwedka! Надо понимать, что до этого места всё правильно?

Belfegor,

предупреждение за избыточное цитирование.

[Shtorm]

Yarkin в сообщении #626946 писал(а):

Теорема Ферма (уточненная). Не существует целых чисел x, y, z и n, что одновременно выполняются соотношения

$$x^n+y^n=z^n, n=2, 3, 4,…, \eqno (1)$$

А почему здесь присутствует n=2 ?? Ведь при n=2 соотношение может выполниться.

[shwedka]

Yarkin в сообщении #626946 писал(а):

Теорема Ферма (уточненная). Не существует целых чисел x, y, z и n, что одновременно выполняются соотношения

$$x^n+y^n=z^n, n=2, 3, 4,…, \eqno (1)$$

Бессмыслица.

[AKM]

Тема перемещена из форума «Великая теорема Ферма» в форум «Пургаторий (М)»
Причина переноса: очевидна из развития темы (возможно, добавлю резюме в более свободное время).

[AKM]

Yarkin в сообщении #623852 писал(а):

Теорема Ферма (уточненная). Не существует целых чисел x, y, z и n, что одновременно выполняются соотношения

$$x^n+y^n=z^n, n=2, 3, 4,…, \eqno (1)$$

Допустим, автор ошибся включив в "условия ВТФ" случай $n=2$. А может, в этом и состоит его "уточнение"? Такую гипотезу навевают воспоминания о его темах о "существовании треугольников" (перечитывать ещё и это, конечно, не буду).
А может, уточнением является НЕупоминание о положительности $x,y,z?$
Неаккуратность это или намеренность --- автор так и не прояснил. Хотя вопрос был задан.

Yarkin в сообщении #624020 писал(а):

Ответ дан выше.

Ответ, якобы "данный выше", ответом не является. Снова надо угадывать мысли автора, чтобы в "написанном выше" увидеть ответ.

Yarkin в сообщении #623852 писал(а):

Вывод:
В условиях ВТФ, решения уравнения (1) могут быть целочисленными только тогда, когда

$$(\rho_x)^3, (\rho_y)^3, (\rho_z)^3$$

будут Пифагоровыми тройками, ...

Видимо, это "основной" вывод. И оставлен он, естественно, без обоснований. После этого вполне можно с авторской лёгкостью написать

Цитата:

ВТФ доказана.

В условиях ВТФ $x,y,z$ в первую очередь --- положительные действительные числа, т.е. $\varphi_x=\varphi_y=\varphi_z=0$. Игнорируя это в первых строках своего доказательства, автор пудрит мозги читателям и себе. Проглядывается страстное желание притянуть за уши теорему косинусов.

Смотрим исправленную версию:

Yarkin в сообщении #625064 писал(а):

Согласен.После обозначений для углов (5) доказательство примет вид:

Для существования соотношения (2), для углов должны выполняться условия

Целочисленные решения возможны при $C=\frac\pi2$ и при $C=\pi$ .

При $C=\frac\pi2$ мы имеем дело с чисто мнимым числом. Если Вы их включаете во множество целых (или даже "целочисленных"), это надо специально оговаривать. И про $3+i$ тогда не мешает заикнуться.

Читать дальше и анализировать ни к чему, и многие это уже проделали получше меня.
Прокомментирую лишь этот мотив:

Yarkin в сообщении #625288 писал(а):

В последней моей закрытой теме я предупредил об отсуствии у меня математической четкости...

Только ли чёткости? Ситуация сильно напоминает известную басню Крылова. Хотя он никак не мог быть участником форума (я проверил по Википедии).

Yarkin в сообщении #625288 писал(а):

... и просил помочь в редактировании этого доказательства.

Здесь обычно не приходится об этом просить. Здесь орудуют в основном математики, и при появлении чего-то разумного они охотно за это хватаются и помогают. Последний пример. Помогают и при отсутсвии разумного. И я старательно помогал, даже более, чем "в меру сил". Вам помогать трудно. Какая-то совсем непривычная логика. Да и Ваши выскокопарные заявления

Yarkin в сообщении #618924 писал(а):

Треугольник считается хорошо изученным геометрическим объектом и теорему косинусов (ТК) обычно связывают с этой фигурой.
...
Даже в настоящее время сильнейшие или знаменитые математики мира не знают все свойства ТК.
...
ТК безразлична к области рассмотрения. Она все операции рассматривает в области КЧ.
...
ТК не признает определение модуля действительных чисел.
...
В ТК все числа обезличены, ...

тому не способствуют, а, скорее, наоборот. Это не из области математики. Здешней математики, если угодно. Уверен, что заявленная самоуверенность и препятствует типичному для форума оказанию помощи в приведении "доказательства" в порядок.

Yarkin в сообщении #618924 писал(а):

Если АКМ их знает, то закрытием темы он либо препятствует их обсуждению, либо по личному убеждению в моих способностях. Если же он этих свойств не знает, то, закрыв тему, он совершил ошибку.
Чтобы не быть голословным приведу доказательство ВТФ.

Теорему я вчера выучил, закрытие перенос в Пургаторий, как видно, случился на этот раз уже не по личному убеждению.

Если перенос в Пургаторий и невозможность ответить на всё это Вы воспринимаете как несправедливость, то я даже соглашусь. Но таков замысел Пургатория (не мой). Иначе я бы и не стал бы (не рискнул бы) писать всё это.

Yarkin в сообщении #626946 писал(а):

Поскольку по ходу доказательства я никаких опровержений не получил, перед отправкой в пургаторий, привожу окончательное доказательство.

Получили, просто Вы их, как обычно, игнорируете. Доказательства не было. Не было и намёка на доказательство.