актуарная задача

[vlad_light]

Страховщик установил тариф по определённому виду рисков, исходя из предположения, что средняя тяжесть страхового случая равна $1200$. На протяжении года было заявлено $1243$ страховых случая. При этом средний размер потерь составил $1283,7$, а выборочное стандартное отклонение $1497,31$. Проверить правильность оценки актуария.
Есть указание: использовать нормальную аппроксимацию.
Помогите, с чего начать. Спасибо!

[--mS--]

С выяснения, насколько вероятно для выборки объёмом 1243 из нормального распределения со средним 1200 получить такое же или ещё большее отклонение выборочного среднего от 1200, как получено. А именно, на 83,7 или больше. Т.е. с вычисления вероятности $\mathsf P(|\overline X - 1200| > 83,7)$, где $X_i \sim \textrm N_{1200, \sigma^2}$.
Приближённого вычисления, раз уж предлагается не распределение Стьюдента использовать, а нормальную аппроксимацию. Сведите $\overline X$ к стандартному нормальному распределению, потом $\sigma$ замените на выборочное с.к.о.

[vlad_light]

$$\mathsf P(|\overline X - 1200| > 83,7)=1 - \mathsf P(|\overline X - 1200| \leq 83,7)=1-\mathsf P(-83,7<\overline X - 1200 < 83,7)=$$

$$=1 -\mathsf P(\frac{-83,7}{\sigma}\sqrt {1243}<\frac{\overline X - 1200}{\sigma}\sqrt {1243} < \frac{83,7}{\sigma}\sqrt {1243})$$

где $\frac{\overline X - 1200}{\sigma}\sqrt {1243}\approx \xi \sim \textrm N_{0,1}$. Дальше заменям $\sigma $ на $1497,31$ и считаем

$$1-(\Phi (\frac{83,7}{1497,31}\sqrt {1243}) - \Phi(\frac{-83,7}{1497,31}\sqrt {1243}))=1-(\Phi(1,97)-\Phi(-1,97))\approx$$

$$\approx 1-(0,975628-0,0243717)=0,0487437$$

Получаем, что вероятность отклониться на $83,7$ крайне мала, т.е. актуарий сделал плохой прогноз по поводу средней тяжести, верно?

(Оффтоп)

http://www.youtube.com/watch?v=sz7A2syUUCg

[--mS--]

vlad_light в сообщении #626225 писал(а):

Получаем, что вероятность отклониться на $83,7$ крайне мала, т.е. актуарий сделал плохой прогноз по поводу средней тяжести, верно?

Верно. Только не на 83,7, а на "столько и более". Хотя по поводу "крайней малости" можно судить по разному. Например, можно считать, что 4% при таком сравнительно большом объёме выборки - это не мало, а мало - это менее одного процента шансов. В задаче очень сильно не хватает приложения в виде начальника ревизора, проверяющего выводы актуария, который (начальник) точно знает, какой процент ошибочных решений (типа не по делу уволенных актуариев) он готов терпеть.

[vlad_light]

Круто, спасибо большое!!!
Ещё одну задачку поможете решить?
"Страховая компания установила тариф по определённому виду рисков, исходя из предположений, что частота наступления страхового случая равна 0,01, а средняя тяжесть страхового случая равна 980, и заключила 1000 договоров страхования этих рисков. Через год оказалось, что по всему портфелю случилось 15 страховых случаев, а средний размер страхового возмещения составил 989,7." Вопрос такой же: проверить правильность оценки актуария

[--mS--]

А свои идеи есть?

[vlad_light]

рассматриваем случ. величину, которая равна 1 с вероятностью 0,01 и 0 в противном случае. Под 1 понимаем, что страховой случай произошёл, а 0 -- не произошёл. Соответственно, такая величина имеет распределение бернулли. Тогда вероятность того, что произойдёт 15 страховых случаев из 1000 равна:

$$P_{1000;0,01}(15)=C_{1000}^{15}(0,01)^{1000}(1-0,01)^{1000-15}\approx \frac{(1000\cdot 0,01)^{15}}{15!}e^{-1000\cdot 0,01}\approx 0,034718$$

Получается, что вероятность почти такая же, как и в предыдущем. А куда тут матожидание девать?

[--mS--]

А вероятность, что произойдёт не 15, а 10 страховых случаев, думаете, принципиально больше? Критическая область у критерия, которым Вы пользуетесь, не должна состоять из одной точки: такой критерий не будет состоятелен.

Матожидание, видимо, в другой критерий. "Частота" и "тяжесть" должны быть независимы, вот только без дисперсии оценить значимость отклонения матожидания на 9 нельзя. Надо думать.

[vlad_light]

Да, Вы правы... Тогда всё, что пока могу найти -- это:

$$E(\sum\limits _{k=1}^{1000} X_k)=\sum\limits _{k=1}^{1000} EX_k=\sum\limits _{k=1}^{1000} EX_1=1000\cdot 0,01 =10;$$ $$D(\sum\limits _{k=1}^{1000} X_k)=\sum\limits _{k=1}^{1000} DX_k=\sum\limits _{k=1}^{1000} DX_1=1000\cdot 0,01\cdot 0,99=9,9; \sigma \approx 3,146426$$

Т.е., почти все значения лежат в области $[6,853573;13,146426]$, а $15$ сюда не попадает. Подскажите, пожалуйста, как быть дальше?

[Евгений Машеров]

Задача распадается на две подзадачи, причём вторую без дополнительных данных не решить (нужны либо стандартное отклонение для тяжести страхового случая, или, что то же, дисперсия, либо основания считать, что распределение "тяжести" однопараметрическое, например, экспоненциальное).
Первая - это проверка гипотезы о том, что параметр биномиального распределения равен p=0.01, зная, что в 1000 испытаний 15 "успехов". Проверять можно непосредственным расчётом для биномиального распределения, аппроксимировав нормальным или пуассоновским (лучше вторым, при такой вероятности нормальное распределение не сильно хорошо) или $\chi^2$
Прямой расчёт даёт вероятность получить 15 или более "успехов" 8.2%, что, по обычно принимаемым границам (в 5% или в 1%) не даёт оснований отвергать гипотезу о том, что вероятность "успеха" в 0.01 выбрана правильно. Однако на практике иногда берут ещё границу в 10% (примерная трактовка - "уровень значимости 1%"="доказано", "уровень значимости 5%"="доказали, но есть сомнения", "уровень значимости 10%"="не доказали, но есть основания проверить дополнительно").
То есть формально отвергнуть гипотезу не вправе, но запросить у актуария материалы и спросить, как он обосновывал, есть резон.

[vlad_light]

Спасибо большое, у меня тоже 8,2% получилось...