Заковыристые пределы

[boomeer]

1) Д-ть, что для любой положительной последовательности ${x_n}$ верхний предел *как он будет в LaTeX?* $(\frac{x_1+x_{n+1}}{x_n})^n\geq e$
2) Пусть $\lim f([\frac{1}{x}]^{-1})=0$ при $x$ стремящимся к 0. Существует ли $\lim f(x)$ при $x$ стремящимся к $0$?
3) Найти множество всех частичных пределов $x_n=\sin n$

[xmaister]

1. Два случая: 1) Если $x_n$ неограничена или $0\in\lim x_n$ 2)$x_n$ ограничена и 0 не предельная точка.
2. Ни понял условия. Че такое $\limf([\frac{1}{x}]^-^1)=0$?

[boomeer]

xmaister в сообщении #626122 писал(а):

2. Ни понял условия. Че такое $\limf([\frac{1}{x}]^-^1)=0$?

Исправил - предел не писался

[chessar]

boomeer в сообщении #626118 писал(а):

верхний предел *как он будет в LaTeX?*

$\varlimsup\limits_{n \to \infty}$

[xmaister]

boomeer в сообщении #626118 писал(а):

3)Найти множество всех частичных пределов $x_n=\sin n$

Было 100500раз. Поищите

[boomeer]

xmaister в сообщении #626128 писал(а):

boomeer в сообщении #626118 писал(а):

3)Найти множество всех частичных пределов $x_n=\sin n$

Было 100500раз. Поищите

Не нахожу(

[xmaister]

Вотъ

[boomeer]

4) Определить множество предельных точек множества ${\sqrt[3]{n}-\sqrt[3]{m}$; $m$ и $n$ натуральные числа
5) Пусть ${a_n}$ числовая последовательность, такая что, $a_{m+n}\leq a_m+a_n$, д-ть, что $\{\frac{a_n}{n}\}$ должна или сходиться или расходиться к минус бесконечности. Причем предел такой последовательности равен ее нижней грани.

[xmaister]

boomeer в сообщении #626139 писал(а):

5) Пусть ${a_n}$ числовая последовательность, такая что, $a_{m+n}\le a_m+a_n$, д-ть, что $\{\frac{a_n}{n}}\}$ должна или сходиться или расходиться к минус бесконечности. Причем предел такой последовательности равен ее нижней грани.

Классика. Пусть $c=\inf\limits_{n\ge 1}\frac{a_n}{n}$. Тогда для $\varepsilon>0$ существует $N$, т.ч. $\frac{a_N}{N}<c +\varepsilon$. Кладём $M=\max_{1\le k\le N}a_k$ и разделим произвольное $m$ на $N$ с отстаком, т.е. $m=qN+r$, откуда $c\le\frac{a_m}{m}\le\frac{qa_N}{m}+\frac{a_r}{m}\le \frac{qN(c+\varepsilon)}{m}}+\frac{M}{m}$. Смотрите куда стремится $\limsup\limits_{m\to\infty}\frac{qN}{m}$ и $\frac{M}{m}$ далее действуйте по определению и всё получится .

-- 02.10.2012, 20:50 --

boomeer в сообщении #626139 писал(а):

4) Определить множество предельных точек множества $\sqrt[3]{n}-\sqrt[3]{m}$; $m$ и $n$ натуральные числа

Получается вся вещественная прямая. Идея такая: Числа $k(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}), k=1,2,\ldots$ приближают любое число из интервала $(0,+\infty)$ с точностью $\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}$, отсюда следует, что любое число из $(0,+\infty)$ можно приблизить числами $\sqrt[3]{n}-\sqrt[3]{m}$ со любой заданной точностью. Для интервала $(-\infty,0)$ рассуждать можно аналогично.

[boomeer]

6) Существует ли такая функция, которая в иррациональных точках принимает рациональные значения, а в рациональных иррациональные?

[_Ivana]

boomeer в сообщении #626242 писал(а):

6) Существует ли такая функция, которая в иррациональных точках принимает рациональные значения, а в рациональных иррациональные?

Придумайте пример за пару секунд.

[xmaister]

boomeer, их до кучи! Функции Вы вообще можете определять как хотите. Быть может имелась в виду непрерывная функция? Если так, то надо подумать.

[boomeer]

xmaister в сообщении #626249 писал(а):

boomeer, их до кучи! Функции Вы вообще можете определять как хотите. Быть может имелась в виду непрерывная функция? Если так, то надо подумать.

Да, верно. Непрерывная из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$

[xmaister]

Пока не видно причин, что мешало бы такой функции существовать... Можно ещё попробовать получить противоречие с теоремой Бэра.

[Someone]

xmaister в сообщении #626262 писал(а):

Пока не видно причин, что мешало бы такой функции существовать...

Непрерывная функция принимает все промежуточные значения. Множество рациональных чисел счётно, иррациональных - не счётно.