Непростая задача из тфкп

[Zealous]

Помогите решить задачу из задачника Евграфова, 11.15

На всякий случай напишу и здесь

\text{Пусть }$f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nz^n$\text{. Введём обозначение }$ D_n(f)=\begin{vmatrix} a_0 & a_1 & \cdots & a_n \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_{n+1} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_n & a_{n+1} & \cdots & a_{2n} \end{vmatrix}$ \begin{multline*} \text{Доказать, что функция $f(z)$ является рациональной функцией в том и только в том случае,}\\ \text{$\quad\quad$когда все определители $D_n(f)$ начиная с некоторого номера $n_0$, равны нулю. }\end{multline*}

-- 02.10.2012, 03:11 --

В одну сторону кажется не очень сложно, а вот в другую, я просто не знаю что делать

[Sonic86]

В другую попробуйте так: строки линейно зависимы при $n>n_0$, выписываем зависимость - это линейное рекуррентное уравнение, пишем характеристическое уравнение, потом решение в общем виде - это будет рациональная функция, разложенная в сумму простых дробей.

[ex-math]

$f(z)$ рациональна тогда и только тогда, когда существует многочлен $P_n(z)$ такой, что $f(z)P_n(z)$ -- также многочлен. Убедитесь, что коэффициенты Тейлора $f(z)P_n(z)$ с достаточно большим номером суть линейные комбинации $a_k$ с одними и теми же коэффициентами. Рассматриваемая функция -- многочлен в том и только в том случае, если ее коэффициенты Тейлора равны нулю, начиная с некоторого. Дальше вспомните критерий существования нетривиального решения однородной системы линейных уравнений.