y=0 единственная и чётная и нечётная функция?

[Pripyat]

Здравствуйте, уважаемые математики. Верно ли, что y=0 единственная и чётная и нечётная функция. Или вернее говорить, о том, что любая функция с симметричной областью определения и множеством значений E={0} является и чётной и нечётной?

[chessar]

Ну если такие функции рассматриваются над произвольным полем характеристики не равной 2, то верно.

[Munin]

А вы не можете это вывести? Берёте определения: $f(x)=f(-x),$ $f(x)=-f(-x),$ и решаете систему.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Pripyat]

Функции $f(x)=0; D(f) = \mathbb{R}$ и $f(x)=0; D(f) = (-\infty;-2)\cup \{0\}\cup (2;+\infty)$ являются и чётными и нечётными одновременно на своей области определения. Считать их разными или одинаковыми? Всё таки области определения не совпадают...

[Someone]

Разными. Но одна может быть продолжением другой (или, наоборот, ограничением на часть области определения).

[Pripyat]

Это понятно. Значит y=0 - не единственная?! Как минимум две, а верней - их бесконечно много? Потому что везде пишут одна!

[Cash]

Непорядок!!! Срочно писать в Академию наук и ЮНЕСКО!!!

[Esp_]

Pripyat в сообщении #624592 писал(а):

Это понятно. Значит y=0 - не единственная?! Как минимум две, а верней - их бесконечно много? Потому что везде пишут одна!

Формально - бесконечно много.

а в каком учебнике написано, что она одна?

[zhoraster]

Cash, устное замечание за бессодержательное сообщение

[Someone]

Pripyat в сообщении #624592 писал(а):

Потому что везде пишут одна!

Ну, имеется такое стремление - при не очень строгом обсуждении отождествлять функции, из которых одна является ограничением другой на часть области определения. Но в аккуратных рассуждениях приходится их различать - вплоть до введения различных обозначений.

[ewert]

Pripyat в сообщении #624515 писал(а):

Или вернее говорить, о том, что любая функция с симметричной областью определения и множеством значений E={0} является и чётной и нечётной?

Формально -- вернее. Но если в формулировке не сделано никаких спецоговорок насчёт областей определения, то по умолчанию в подобных случаях подразумевается, что функция задана на всей оси.