Как считаются квартили сгруппированных данных?

[integral2009]

Размышлял над квартилями и осознал, что не все понимаю.

Если у нас есть выборка некой дискретной случайной величины. Сгруппировали вариационный ряд.

Получилось

\begin{matrix} \!\!\vline\!\!& x_i &\!\!\vline\!\!& x_1 &\!\!\vline\!\!& x_2 &\!\!\vline\!\!& ... &\!\!\vline\!\!&x_n \\\hline \!\!\vline\!\!& p_i &\!\!\vline\!\!& p_1 &\!\!\vline\!\!& p_2 &\!\!\vline\!\!& ... &\!\!\vline\!\!&p_n \end{matrix}

Как теперь считать квартили? Можно ли без эмпирической функции распределения?

Я себе представляю несколько ситуаций:

1) $n$ - нечетное число. Тогда $x_k$ - медиана. $k=\dfrac{1+n}{2}$

Но как считать 1 и 3 квартили. Понимаю, что нужно разбить на 4 равные группы, но во вторую или третью группу включить медиану?

2) $n$ - четное число, которое делится на 4. Тогда $x_m=\dfrac{x_{{n/2}}+x_{(n+1)/2}}{2}$ - медиана.

А как тут считать квартили? 1 квартиль будет $x_m(1)=\dfrac{x_{{n/4}}+x_{(n+1)/4}}{2}$?

3) $n$ - четное число, которое не делится на 4. Тогда $x_m=\dfrac{x_{{n/2}}+x_{(n+1)/2}}{2}$ - медиана.

А как тут считать квартили?

[Cash]

У вас и для медианы неверно. Начать с нее нужно...
Если $p_i=\frac{1}{2^i}$, то чему медиана равна?

[integral2009]

Cash в сообщении #624184 писал(а):

У вас и для медианы неверно. Начать с нее нужно...
Если $p_i=\frac{1}{2^i}$, то чему медиана равна?

$x_1$

Так как $F(x_1)=0,5$

То есть нужно считать отталкиваясь от $F(x_{me})=0,5$?

[Cash]

Вообще, и $F(x_{me})=0,5$ - это тоже неверно.
Возьмите, например, $p_1=0.6$
Квантили находятся с помощью кумулятивной вероятности, если на практике. Или по графику функции распределения, если наглядно.
Определение квантиля можете выписать?

[integral2009]

Cash в сообщении #624197 писал(а):

Вообще, и $F(x_{me})=0,5$ - это тоже неверно.
Возьмите, например, $p_1=0.6$
Квантили находятся с помощью кумулятивной вероятности, если на практике. Или по графику функции распределения, если наглядно.
Определение квантиля можете выписать?

Пусть есть вероятностное пространство $(\Omega,\;\mathcal{F},\;\mathbb{P})$ и $\mathbb{P}^X$ — вероятностная мера, задающая распределение некоторой случайной величины$X$. Пусть фиксировано $\alpha\in(0,\;1)$. Тогда $\alpha$-квантилью (или квантилью уровня $\alpha$) распределения $\mathbb{P}^X$ называется число $x_\alpha\in R$, такое что $x_\alpha\colon\begin{cases}\mathbb{P}(X\leqslant x_\alpha)\geqslant\alpha; \\ \mathbb{P}(X<x_\alpha)\leqslant\alpha.\end{cases}$

[Cash]

С вики выписано? Своими словами можете высказать? Пусть, может и не математически выверено, но смысл был понятен?
Если затрудняетесь, то чтобы прочувствовать определение - возьмите ряд примеров.
Начните, например, с $n=3$. $p_1=0.4, \;p_2=0.2, \;p_3=0.4$
Чему равны здесь медиана и квартили?
Возьмите потом чуть побольше значений, поиграйтесь с вероятностями.
И сумеете тогда легко сформулировать (доступным языком ) правило, по которому можно найти любой квантиль для дискретного распределения. Подсказка - кумулятивная вероятность - у вас есть.

-- Пт сен 28, 2012 02:35:56 --

Или еще способ:
Дан график функции распределения непрерывной случайной величины? Как найти квантиль?
И затем перенести на случай дискретной. Там будет всего одна дополнительная тонкость.

[integral2009]

Цитата:

С вики выписано? Своими словами можете высказать? Пусть, может и не математически выверено, но смысл был понятен?

1) да
2)да (уже написал про медиану, вам не понравилось)
3)да

Цитата:

Начните, например, с $n=3$. $p_1=0.4, \;p_2=0.2, \;p_3=0.4$
Чему равны здесь медиана и квартили?

Для $x_1<x_2<x_3$

1-ый квартиль $x_1$

2-ый квартиль $x_2$

3-ый квартиль $x_3$

Цитата:

Дан график функции распределения непрерывной случайной величины? Как найти квантиль?

Это будет корень уравнения

1-ый квартиль $F(x)=0,25$

2-oй квартиль $F(x)=0,5$

3-ый квартиль $F(x)=0,75$

[Cash]

Дан график функции распределения непрерывной случайной величины.
Как найти квантиль $\alpha$? С помощью карандаша и линейки.

-- Пт сен 28, 2012 03:11:17 --

Цитата:

уже написал про медиану, вам не понравилось

А что там могло понравиться, если вероятности вообще не при делах были?

[integral2009]

Cash в сообщении #624214 писал(а):

Дан график функции распределения непрерывной случайной величины.
Как найти квантиль $\alpha$? С помощью карандаша и линейки.

Это будет абсцисса точки пересечения горизонтальной прямой $y=\alpha$ с $F(x)$

Cash в сообщении #624214 писал(а):

А что там могло понравиться, если вероятности вообще не при делах были?

Вероятность подразумевалась неявно) $F_X(x)=P(X<x)$

[Cash]

Все правильно.
Теперь случай дискретного распределения, где точки пересечения уже может не быть.
Вообще, по-моему, нахождение квантилей у вас уже не должно вызывать трудностей и вы в состоянии сами сформулировать правило их нахождения.

Цитата:

Вероятность подразумевалась неявно) $F_X(x)=P(X<x)$

А-а, вы про свой второй пост? Я думал про стартовый...
В записи $F(x_{me})=0,5$ - ошибка вовсе не критическая, просто такая точка, где $F(x)=0.5$ не всегда есть. Тут чуть-чуть поаккуратнее надо быть и всё. Это как раз и есть тонкость в различии нахождения квантиля непрерывного и дискретного распределения.

[Евгений Машеров]

Только интерполяцией. Строится функция распределения и затем интерполируется. В своё время было сильно востребовано, потом как-то забылось. Обычно использовали линейную интерполяцию (а для нахождения по группированным данным моды - квадратичную).

[Александрович]

Евгений Машеров в сообщении #624279 писал(а):

Только интерполяцией. Строится функция распределения и затем интерполируется.

Для дискретного распределения?

[Евгений Машеров]

Для сгруппированного. Вообще говоря, непрерывного.