Пределы последовательностей. Доказательства

[Curiosity]

1. Дана последовательность $x_n=(-1)^n$. Нужно доказать, что она не сходится.

Как должно выглядеть доказательство? Я имею в виду, что это ведь очевидно - при $n\to \infty$ последовательность при четных n стремится к $+\infty$ , при нечетных - к $-\infty$

Как расписать, что нет предела?

2. Аналогичный вопрос. Последовательность $x_n = n$. Что тут доказывать, если видно, что n принимает неогр. значения?

3. Нужно узнать, ограничены ли последовательности:
$x_n = \sin n$

$x_n= (-1)^n\frac {1} {n} $

Я так понимаю, что доказательство будет основываться на предположении, что существует $\sup$ или $\inf$. Но как это доказывается?

[alcoholist]

Curiosity в сообщении #623781 писал(а):

1. Дана последовательность xn=$(-1)^n$

Пушкин писал(а):

Другой смолчал и стал пред ним ходить

[AKM]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[gris]

В подобных задачах обычно требуется доказательство "по определению", то есть нельзя пользоваться теоремами, доказанными позже по курсу. В этом и состоит вся сложность.
Последовательность называется сходящейся, если у неё существует (конечный) предел. Число $A$ называется пределом последовательности, если для любого эпсилон ... и так далее.
Ваша задача показать, что данная последовательность не имеет предела, то есть для любого числа $A$ существует такое эпсилон и так далее по логическому отрицанию.
Несмотря на очевидность примеров, такое строгое доказательство требует большого внимания и аккуратности.
Возможно, что в Вашем случае можно пользоваться утверждениями, равносильными сходимости, например, относящимися к пределам подпоследовательностей. Тогда проще. Надо также выделять случаи бесконечного предела.

[_Ivana]

Curiosity в сообщении #623781 писал(а):

1. Дана последовательность $x_n=(-1)^n$.
...
Я имею в виду, что это ведь очевидно - при $n\to \infty$ последовательность при четных n стремится к $+\infty$ , при нечетных - к $-\infty$

Это мало того, что не очевидно, так ещё и неверно.

[Mitrius_Math]

В первой задаче поможет критерий Коши сходимости последовательности, а во второй - отрицание определения предела последовательности. В третьей задаче нужно вспомнить про множество значений синуса, а также определение ограниченной последовательности (а); в пункте (б) докажите, что последовательность сходится к нулю (по определению предела последовательности), тогда...

[alcoholist]

Curiosity в сообщении #623781 писал(а):

Я так понимаю, что доказательство будет основываться на предположении, что существует $\sup$ или $\inf$. Но как это доказывается?

вторую последовательность явно выпишите:
$x_1=\ldots$
$x_2=\ldots$
$x_3=\ldots$
$x_4=\ldots$
и т.д., пока не догадаетесь про ограниченность