Точные верхние и нижние грани. Доказательства.

[Curiosity]

Здравствуйте!

Пытаюсь разобраться в теории множеств - точные нижние и верхние грани. Ни в какую не могу выполнить доказательства после параграфа( Если они не занимают много места ( 3 штуки), распишите, пожалуйста!

Очень хочу все понять до конца и научиться доказывать подобные утверждения самостоятельно..

______________

Ссылка на параграф - после него 3 вопроса:
http://page-book.ru/i48669#page


Заранее спасибо!

[arseniiv]

На первый раз сюда это перепишу вместо вас я:

9. Пусть $X$ и $Y$ — непустые множества вещественных чисел, причём $X$ ограничено сверху, а $Y$ содержится в $X$. Докажите, что $Y$ также ограничено сверху и $\sup Y \leqslant \sup X$.

10. Найдите точные грани множества рациональных чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $x^2 < 2$.

11. Пусть $A$ — множество чисел, противоположных по знаку числам из множества $B$. Докажите, что: а) $\inf A = -\sup B$; б) $\sup A = -\inf B$.

Изложите свои попытки решения. Наверняка вы что-то надумали перед тем как отчаяться!

[Curiosity]

9. Ну, если пользоваться определением верхней грани , то любой х принадлежащий множеству Х меньше или равен supX. И любой y принадлежащий Y меньше или равен supY.

Т.к. Y подмножество X, то все элементы Y Принадлежат X => при любом n yn<=xn

И соответственно если любой x , $\x\leqslant\supX$ supX

А любой $y\leqslant\x$ x то соответственно любой y $y\leqslant\x$ supX, а т.к. в то же время y $y\leqslant\x$ supY то supX больше или равен supY, т.к. supX не может быть меньше supY ,т.к. supX больше любого x.

Все плохо, да?

[alcoholist]

Curiosity в сообщении #623775 писал(а):

при любом n yn<=xn

что такое $n$?

(Оффтоп)

уже набирайте формулы в нужном теге

Curiosity в сообщении #623775 писал(а):

соответственно если любой x , $\x\leqslant\supX$ supX

бессмысленное высказывание

[Curiosity]

alcoholist в сообщении #623788 писал(а):

Curiosity в сообщении #623775 писал(а):

при любом n yn<=xn

что такое $n$?

xn= $x_n$ n номер элемента последовательности.

[alcoholist]

Curiosity в сообщении #623789 писал(а):

xn= $x_n$ n номер элемента последовательности.

при чем тут последовательности? У Вас

arseniiv в сообщении #619704 писал(а):

$X$ и $Y$ — непустые множества вещественных чисел

[Curiosity]

Блин, случайно вырвалось. Множества,конечно

[alcoholist]

Curiosity в сообщении #623794 писал(а):

Блин, случайно вырвалось. Множества,конечно

пишите правильно: $\forall y\in Y$ $\exists x\in X$: $y\le x$, therefore...