Критерий Коши

[boomeer]

Возник такой вопрос по мере изучения материала. А что если в критерии Коши для сходимости последовательности взять $p$ не произвольное, а какое то фиксированное натуральное число? Т.е. $|x_{n+p}-x_n|<\epsilon$ лишь для какого то конкретного натурального $p$. Можем ли мы теперь утверждать, что последовательность сходится?

[alcoholist]

возьмите любое конкретное $p$ и последовательность $x_n=1+1/2+\ldots+1/n$

[boomeer]

1) Доказать, что для всякой последовательности ${x_n}$ с ограниченным изменением существуют возрастающие ограниченниые последовательности ${a_n} {b_n}$, такие что $x_n=a_n-b_n$
2) По критерию Коши доказать расходимость ряда $x_n=(n*cos\pi*n-1)/(2n)$
3) Пусть есть последовательность ${a_n}$ и $b (0;1)$ : $|a_{n+1}-a_n|<=b|a_n-a_{n-1}|$. Как доказать, что ${a_n}$ сходится?
4) Пусть $a_1=1$ $a_n_+_1=a_n(1+|sina_n|)^{-1}$. Как найти предел $n*a_n$?

По теореме Штольца найти предел
$\frac{1+\sqrt{2}+..+\sqrt[n]{n}}{n}$\


Из тучи номеров эти не получились...

[SpBTimes]

2) Общий член к нулю не идет, так что критерий Коши сразу дает ответ
1) Их нужно просто построить. Из ограниченности $x_n$ нужным образом каждый раз берите $a_n, b_n$. А именно с какими-нибудь супремумами повозитесь
3) Цепочку неравенств продолжите. Получите, что разность соседних членов убывает быстрее, чем прогрессия со знаменателем $b$. Затем достаточно воспользоваться критерием Коши и св-вами модуля
4) Докажите, что последовательность монотонно убывает. Пределом её является ноль. Далее найдите асимптотику (воспользуйтесь Тейлором)
5) Тут в лоб примените теорему, что может не получиться?

[boomeer]

Пятую сделал.
Другие не получаются. Мммм, как то очень общно написано... Сложно построить правильное решение с общих слов. (Особенно 1 и 4)

[Oleg Zubelevich]

boomeer в сообщении #622828 писал(а):

1) Доказать, что для всякой последовательности ${x_n}$ с ограниченным изменением существуют возрастающие ограниченниые последовательности ${a_n} {b_n}$, такие что $x_n=a_n-b_n$

$a_n=\sum_{j=2}^n|x_{j}-x_{j-1}|$

[SpBTimes]

boomeer
Ну, скажем, 4. Доказав стремление к нулю, смотрим:
$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1 + \sin(a_n)}{a_n} = \frac{1}{a_n} + 1 + o(1)$
$\frac{1}{a_{n+1}} = n + 2 + o(1) + ... + 0(1)$
Теперь остается подставить