Верно ли соотношение для частных производных:

[phys]

$$\frac{\partial U}{\partial x} = \dfrac{1}{\frac{\partial x}{\partial U}}$$

-- Ср сен 19, 2012 22:58:32 --

(Оффтоп)

Понимаете, есть такой нюанс, в МВТУ уж очень банально преподают линейную алгебру, все что можно запомнить после семетра этого предмета - это независимость в каком порядке брать смешанную производную, ибо в конце семестра, ничего не делая, ты получаешь зачет автоматом, что не есть хорошо. После этого в курсе Термодинамики и Урматфиза испытываются большие проблемы, ну это так, лирическое отступление

AKM спасибо за уточнение названия темы :) Могли бы и ответить между делом :)

[Утундрий]

Во общем случае, наверное, нет. Однако, похожие соотношения имеют место для так называемых якобианов:

$$\[ \frac{{\partial \left( {A,B} \right)}} {{\partial \left( {x,y} \right)}} \equiv \left| {\begin{array}{*{20}c} {\frac{{\partial A}} {{\partial x}}} & {\frac{{\partial A}} {{\partial y}}} \\ {\frac{{\partial B}} {{\partial x}}} & {\frac{{\partial B}} {{\partial y}}} \\ \end{array} } \right| \] $$

А именно, оказывается, что

$$\[ \frac{{\partial \left( {A,B} \right)}} {{\partial \left( {x,y} \right)}} = \frac{{\partial \left( {A,B} \right)}} {{\partial \left( {r,\theta } \right)}}\frac{{\partial \left( {r,\theta } \right)}} {{\partial \left( {x,y} \right)}} \] $$

Учитывая, что $\[ F_x \left( {x,y} \right) = \frac{{\partial \left( {F,y} \right)}} {{\partial \left( {x,y} \right)}},F_y \left( {x,y} \right) = \frac{{\partial \left( {x,F} \right)}} {{\partial \left( {x,y} \right)}} \]$ и т.д., можно быстро производить пересчет производных от одной с.к. к другой, например.

[Someone]

phys в сообщении #621211 писал(а):

в МВТУ уж очень банально преподают линейную алгебру

Вообще-то, вопрос относится к математическому анализу.

А что такое $U$ и $x$, и что там ещё есть?

Вообще, если у нас есть уравнение $F(x,y,z)=0$, то, используя формулу частной производной функции, заданной неявно, можно показать, что $\frac{\partial x}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial x}=1$, и что $\frac{\partial x}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial z}\cdot\frac{\partial z}{\partial x}=-1$.

[phys]

Такая штука использовалась сегодня на лекции по термодинамике, но там как бы "условно было принято" что $U$ это на время функция только температуры, и тогда можно взять и поменять местами :)

[Утундрий]

Что-то такое припоминается. Нельзя ли изложить здесь всю задачу целиком и подробнее?

[ewert]

Ну это просто теорема об обратной функции. $U$ есть функция от нескольких переменных, в т.ч. и икса. При фиксированных всех остальных -- соотв., и наоборот. Так что при соответствующих оговорках всё вполне корректно, хоть и выглядит отвратительно, конечно.

[ИСН]

В термодинамике часто меняются местами функции и переменные самым диким образом. Поэтому нельзя писать частных производных без указания того, что остаётся постоянным. А то так-то оно весело, пока не упрёшься в $\left({\partial V\over\partial p}\right)_T \cdot \left({\partial p\over\partial T}\right)_V \cdot \left({\partial T\over\partial V}\right)_p = ...$ чему?

[Iby]

ничего фиксировать не надо, ведь бесконечно малое изменение третьего стороннего аргумента не изменит соотношения для первых двух

-- 20.09.2012, 10:45 --

Цитата:

$\left({\partial V\over\partial p}\right)_T \cdot \left({\partial p\over\partial T}\right)_V \cdot \left({\partial T\over\partial V}\right)_p = ...$ чему?

минус единичке

[ИСН]

Iby в сообщении #621324 писал(а):

минус единичке

Это да. А при первом взгляде хочется интуитивно позачёркивать всё и оставить 1.
Первую Вашу фразу не понял. Вот есть $\left({\partial U\over\partial T}\right)_p$ и $\left({\partial U\over\partial T}\right)_V$. Вряд ли надо пояснять, наколько это разные вещи. А что же получится, если ничего не фиксировать?

[arseniiv]

Класс эквивалентности функций с разными числами аргументов по совпадению сужений?