Олимпиады.

[Pyphagor]

Задачи с олимпиады ташкентского мехмата для 1,2 и 3 курсов
(4 курс не участвовал вообще)
На решение отводится не более 2ч.

1. a,b,c-натуральные. Доказать: НОД(НОК(а,b);НОК(b,с);НОК(а,с))=
НОК( НОД(а,b);НОД(b,с);НОД(а,с)).

2. Пусть 0<x<=pi/4 Доказать:
1)sin^sinx^2<= cosx^cosx^2
2)sinx^sinx^4>=cosx^cosx^4

3. Доказать: 1/n+1<ln(n/n+1)<1/n,где n-натуральное.

4. Дана матрица А=(а[i,j]), где а[i,j]=min(i,j). Найти detA.

5. Peшить: xy=y'+ x^2y".

P.S. Господа RIP и Руст дайти порешать другим!
По сути меня
интересует Ваши субъективные мнения насчет сложности задач.
Согласитесь, что задачи низкого уровня.

[ИСН]

И это вузовская олимпиада?
О боги...
1 - видно сразу, right away, из картинки с тремя пересекающимися окружностями (в теории множеств такие картинки назывались каким-то мудрёным словом, забыл каким, но думаю, все поняли, о чём я).
2 - напишите по-человечески, а то непонятно, кто там в какой степени.
3 - то же самое; скорее всего, имеется в виду, что ${1\over n+1}<ln(1+{1\over n})<{1\over n}$, тогда истина следует из ряда Тейлора для логарифма.
4 - матрица диагонализуется очень просто, выходит 1.
5 мне что-то не нравится.

[dewgong]

2. Dokazat neravenstva

$$\displaystyle (\cos x)^{\cos^2x} \geq (\sin x)^{\sin^2x}$$

$$(\cos x)^{\cos^4x} \leq (\sin x)^{\sin^4x}$$

pri $0<x \leq \frac{\pi}{4}$

3. Bez ispolzovaniya ryada Teylora i proizvodnih vozmojno?

[Lion]

Возможно. Эта задача опубликована в "Кванте", год 200?, можно поискать там.

[neo66]

dewgong писал(а):

3. Bez ispolzovaniya ryada Teylora i proizvodnih vozmojno?

Естественно, возможно. Это неравенство равносильно такому: $(1+\frac{1}{n})^{n} < e < 1+\frac{1}{n})^{n+1}$. Это общее место, обсуждаемое практически в любом учебнике математического анализа.