Производная сложной функции

[FFFF]

Я как-то озадачился: как дифференцировать сложную функцию в некоммутативном случае?
Например, рассмотрим $e^{Z(t)}$, где $Z(t)$ - какая-то матрица. Тогда $\frac{d}{dt}e^{Z(t)}=e^{Z(t)}\frac{dZ(t)}{dt}\neq \frac{dZ(t)}{dt}e^{Z(t)}$ По идее, должно выполняться первое равенство, но как это строго доказать? (используя только chain rule)

[alcoholist]

$(Z^2)'=ZZ'+Z'Z\neq 2ZZ'$, т.е. "правило дифференцирования сложной функции" тут совсем другое

[мат-ламер]

Можно попробовать действовать прямо, исходя из определения производной.

[FFFF]

мат-ламер
Да, за определение производной я хочу взять линейное отображение, которое подчиняется правилу Лейбница.
$(f g)'=f'g + f g'$
И тогда нужно доказать, что $(f \circ g)' = (f' \circ g)g'$
Выглядит так, как будто нужно только поиграть с формулами, попробовать подставлять разные произведения, коммутаторы и т.д.

Изначально вопрос возник, когда пытался доказать формулу Кэмпбелла-Бейкера-Хаусдорфа, в итоге нашёл хорошее доказательство, так что интерес чисто академический остался.

А вообще, довольно интересно, в некоммутативном случае и правило Лейбница можно по-другому записать, например: $(f g)'=gf' + g'f$. Тогда и производная будет "другая". Интересно, как это соотносится с "нормальным" определением производной?

[alcoholist]

FFFF в сообщении #620194 писал(а):

И тогда нужно доказать, что $(f \circ g)' = (f' \circ g)g'$

как можно доказать неверное утверждение?-)

-- Вт сен 18, 2012 14:17:17 --

FFFF в сообщении #620194 писал(а):

А вообще, довольно интересно, в некоммутативном случае и правило Лейбница можно по-другому записать, например: $(f g)'=gf' + g'f$.

в этом случае вознакает неассоциативность: $((fg)r)'\neq (f(gr))'$

[FFFF]

alcoholist в сообщении #620519 писал(а):

как можно доказать неверное утверждение?-)

да, ерунду я написал