Эффективное поведение в очереди

[gris]

Я продолжу здесь. Я немножко другое имел в виду. Если распределение времени обслуживания каждого посетителя одинаково для данной кассы, то суммарное время работы каждой кассы имеет нормальное распределение, может быит со своими параметрами, так как там суммируются одинаково распределённые СВ. То есть моделировать можно сразу время окончания работы каждой кассы. А поскольку общее время обслуживания определяется по максимальному из всех касс, то имея формулу для матожидания максимума, можно было сразу написать ответ. Но увы, такой формулы не подсказали.
Но Ваши цифры очень убедительны. Время обслуживания с фиксированными очередями будет больше, но коэффициент будет стремиться к единице при уменьшении разброса времени обслуживания и при увеличении количества народа.

[_Ivana]

Понял идею, сам думал примерно то же самое. Фактически второй вариант и моделирование по нему укладывается в центральную предельную теорему и дает нам похожее на Гауссовское распределение с известным матожиданием, дисперсию скорее всего тоже несложно найти. Осталось найти матожидание максимума из выборки n элементов. При известных параметрах распределения его, кстати, тоже скорее всего можно посчитать моделированием :)

[gris]

Ну да. Меня вот что зацепило. При заданном количестве народа увеличение количества касс с одной стороны уменьшает дисперсию для каждой кассы и увеличивает вероятность "выброса" максимального времени (относительного к среднему, конечно).

[_Ivana]

Промоделировал матожидание величины максимума из нескольких значений гауссовского распределения в зависимости от дисперсии, для количества значений $n=3$ сравнил с моим моделированием очередей, результаты предсказуемо совпадают:

$n=3, T=10 :$
$m=30, \sigma=8.197, t_1=61.9631, t_2=55.0227, t_1-t_2=6.9404, \delta_g=6.9412$
$m=60, \sigma=11.5902, t_1=119.8263, t_2=109.9866, t_1-t_2=9.8397, \delta_g=9.825$
$m=120, \sigma=16.4426, t_1=233.9235, t_2=219.9289, t_1-t_2=13.9947, \delta_g=13.8945$
$m=240, \sigma=23.2125, t_1=459.6387, t_2=440.017, t_1-t_2=19.6217, \delta_g=19.5452$
$m=480, \sigma=32.9801, t_1=907.7022, t_2=880.0268, t_1-t_2=27.6754, \delta_g=27.9586$
$m=960, \sigma=46.3483, t_1=1799.4789, t_2=1760.022, t_1-t_2=39.4569, \delta_g=39.3055$

, где $m$ - количество покупателей, $\sigma$ - среднеквадратическое отклонение распределения каждой кассы по числу покупателей $=m/3$ (получено расчетным путем в результате моделирования), $t_1$ и $t_2$ - время обслуживания покупателей по первому и второму варианту соответственно, $\delta_g$ - отклонение от матожидания нормально распределенной случайной величины со среднеквадратическим отклонением $\sigma$ матожидания максимума из трех значений этой величины (получено расчетным путем в результате моделирования).
ЗЫ думал при малом количестве покупателей результаты будут сильнее отличаться, однако нет.

[gris]

Ну Вы круто: к одной кассе тысяча покупателей. Впрочем, как на футбол. Но там время обслуживания имеет малую дисперсию и ничего неожиданного не произойдёт.
Я вчера решил без всяких теорий поэкспериментировать на практике. В эксели не особо мудря сформировал очереди из рандов, просуммировал, нашёл максимум. Всё так и есть.
Меня вот что заинтересовало. Предположим, есть большое количество народа. Если мы его выстроим к одной кассе, то никакие переходы невозможны и времена обслуживания будут совпадать. Если мы откроем количество касс, равное количеству людей, то переходов тоже не будет и времена будут совпадать. Значит, для данной конфигурации есть оптимальное число касс, когда наш коэффициент будет максимален.

[_Ivana]

Цитата:

Ну Вы круто: к одной кассе тысяча покупателей.

Нет, если считать так, то данные не сойдутся. К одной кассе у нас $m/3$ покупателей, и исходя из этого оценивается её дисперсия.

Цитата:

Значит, для данной конфигурации есть оптимальное число касс, когда наш коэффициент будет максимален.

Какой коэффициент? Отклонения от минимального времени без простоев касс? Мне кажется он монотонно растет с увеличением количества касс. И думаю, даже ограниченность количества народа не остановит его рост. Можно проверить.
UPD хотя дисперсия каждой кассы падает. Тогда скорее всего вы правы, должно быть количество касс, дающее максимум. Опять-таки, можно проверить.

[gris]

Абсолютное значение отклонения, конечно, растёт. Но относительное падает начиная с какого-то количества касс. Стремится к единице.

[_Ivana]

Парочка графиков - результатов моделирования
http://s016.radikal.ru/i335/1209/41/984d7f65711e.jpg
http://s42.radikal.ru/i096/1209/bb/a4f1ad13cb49.jpg